高中函數(shù)求值域的九種方法和例題講解

1、高中函數(shù)值域和定義域的大小是高中數(shù)學?？嫉囊粋€知識點本文介紹了函數(shù)求值域最常用的九種方法和例題講解.一觀察法一觀察法通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y=3√(2－3x)的值域。點撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2－3x)的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2－3x)≥0，故3√(2－3x)≥3。∴函數(shù)的知域為.點評：算術(shù)平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數(shù)的非負性，（2）值的非負性。本

2、題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。練習：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）二反函數(shù)法二反函數(shù)法當函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。例2求函數(shù)y=(x1)(x2)的值域。點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。解：顯然函數(shù)y=(x1)(x2)的反函數(shù)為:x=(1－2y)（y－1）其定義域為y≠1的實數(shù)故

3、函數(shù)y的值域為｛y∣y≠1y∈R｝。點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學解題的重要方法之一。練習：求函數(shù)y=(10x10x)(10x－10x)的值域。（答案：函數(shù)的值域為｛y∣y1｝）三配方法三配方法對于閉區(qū)間[ab]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)可求出y=f(x)在區(qū)間[ab]內(nèi)的極值并與邊界值f(a).f(b)作比較求出函數(shù)的最值可得到函數(shù)y的值域。例5已知(2x2x3)(3x

4、2x1)≤0且滿足xy=1求函數(shù)z=xy3x的值域。點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。解：∵3x2x1＞0，上述分式不等式與不等式2x2x3≤0同解，解之得－1≤x≤32，又xy=1，將y=1x代入z=xy3x中，得z=x24x(1≤x≤32)∴z=(x2)24且x∈[132]函數(shù)z在區(qū)間[132]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當x=1時，z=－5；當x=32時，z=154?！嗪瘮?shù)z的值域

5、為｛z∣－5≤z≤154｝。點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。練習：若√x為實數(shù)，則函數(shù)y=x23x5的值域為（）A（－∞，＋∞）B[－7，＋∞]C[0，＋∞）D[－5，＋∞）（答案：D）。六圖象法六圖象法通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。例6求函數(shù)y=∣x1∣√(x2)2的值域。點撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。解：原函