高中奧數(shù)覆蓋例題講解

1、高中奧數(shù)覆蓋例題講解高中奧數(shù)覆蓋例題講解１最簡單情形――用一個圓覆蓋一個圖形首先根據(jù)覆蓋和圓的定義及性質(zhì)即可得到：定理１如果能在圖形Ｆ所在平面上找到一點Ｏ，使得圖形Ｆ中的每一點與Ｏ的距離都不大于定長ｒ，則Ｆ可被一半徑為ｒ的圓所覆蓋定理２對于二定點Ａ、Ｂ及定角α若圖形Ｆ中的每點都在ＡＢ同側(cè)，且對Ａ、Ｂ視角不小于α，則圖形Ｆ被以ＡＢ為弦，對ＡＢ視角等于α的弓形Ｇ所覆蓋在用圓去覆蓋圖形的有關(guān)問題的研究中，上述二定理應(yīng)用十分廣泛２一個圖形Ｆ能否

2、被覆蓋，與圖形中任意兩點間的距離最大值ｄ密切相關(guān)以下我們稱圖形Ｆ中任意兩點間的距離最大值ｄ為圖形Ｆ的直徑我們繼續(xù)研究多個圓覆蓋一個圖形問題定義對于圖形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ，若圖形Ｆ中的每一點都被這組圖形中的某個所覆蓋，則稱這幾個圖形覆蓋圖形Ｆ圖形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ為ｎ個圓是一特殊情形３直線形圖形覆蓋別的圖形的問題解決直線形圖形覆蓋別的圖形的問題，常須較高的智巧，一般的處理方法是通過構(gòu)造過渡圖形，逐步調(diào)整，最終獲得問題的解決4.圖形的嵌

3、入是覆蓋問題的一種重要變化形式所謂圖形Ｆ能嵌入圖形Ｇ其本質(zhì)就是圖形Ｇ能覆蓋圖形F.例題講解1求證：（１）周長為２ｌ的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋（２）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是２ｌ，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋2△ABC的最大邊長是ａ，則這個三角形可被一半徑為的圓所覆蓋3△ＡＢＣ的最大邊BC等于ａ，試求出覆蓋△ABC的最小圓4以ＡＢＣＤ的邊為直徑向平行四邊形內(nèi)作四個半圓，證明這四個半圓一定覆蓋整個平

4、行四邊形（2）如圖452在線圈上分別取點R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l.又設(shè)RQ中點為G，M為線圈恥任意一點，連MR、MQ，則因此，以G為圓心，長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈２分析ａ為最大邊，所對角A滿足６０≤A＜１８０證明不妨設(shè)BC＝ａ，以BC為弦，在A點所在一側(cè)作含60角的弓形?。▓D４５－３）因６０≤A≤180，故根據(jù)定理２，△ABC可被該弓形所覆蓋由正弦定理，弓形相應(yīng)半徑ｒ＝，所以△ABC可被半徑為的圓所覆蓋顯

5、然覆蓋△ABC的圓有無窮多個，那么半徑為的圓是否是最小的覆蓋圓呢？事實并不盡然３解分三種情形進行討論：（１）∠Ａ為鈍角，以ＢＣ為直徑作圓即可覆蓋△ＡBC（２）∠Ａ是直角，同樣以ＢＣ為直徑作圓即可覆蓋△ABC；（３）∠Ａ是銳角假若⊙O覆蓋△ABC，我們可在⊙O內(nèi)平移△ABC，使一個頂點B落到圓周上，再經(jīng)過適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，使另一個頂點落在圓周上，此時第三個頂點A在⊙O內(nèi)或其圓周上，設(shè)BC所對圓周角為α，那么∠BAC≥α，設(shè)⊙O直徑ｄ，△ABC外接

6、圓直徑ｄ０，那么所以對于銳角三角形ABC，最小覆蓋圓是它的外接圓今后我們稱覆蓋圖形F的圓中最小的一個為F的最小覆蓋圓最小覆蓋圓的半徑叫做圖形F的覆蓋半徑綜合例２、例３，即知△ABC中，若ａ為最大邊，則△ABC的覆蓋半徑ｒ滿足４分析１ＡＢＣＤ的每一點至少被某個半圓所蓋住證明１用反證法如圖４５－４設(shè)存在一點Ｐ在以ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ為直徑的圓外，根據(jù)定理二，∠ＡＰＢ，∠ＢＰＣ，∠ＣＰＤ∠ＤＰＡ均小于９０，從而∠ＡＰＢ＋∠ＢＰＣ＋∠ＣＰＤ＋