第十章排列、組合、概率與統(tǒng)計

1、第1頁第2頁數(shù)學基礎(chǔ)知識與典型例題（第十章排列、組合、概率與統(tǒng)計）排列與組合1分類計數(shù)原理:完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦1m法中有種不同的方法，……，在第n類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=2mnmn1n2n3…nM種不同的方法2.分步計數(shù)原理:完成一件事需要分成n個步驟做第一步有種不同的方法做第二步有種1m2m不同的方法……做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=n1n2n3…nM

2、種不同的方nm法注：分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心，既可用來推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來直接解題。它們的共同點都是把一個事件分成若干個分事件來進行計算。只不過利用分類計算原理時，每一種方法都獨立完成事件；如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類計數(shù)原理，重在分“類”，類與類之間具有獨立性和并列性；利用分步計數(shù)原理，重在分步；步與步之間具有相依性和連續(xù)性.比較復(fù)雜的問題，常先分類再分步先分類再分步。3.⑴排列的定義

3、：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.⑵排列數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號表示.其中mnAn，m∈，并且m≤nN?⑶排列數(shù)公式:!(1)(1)()()!mnnAnnnmmnnmNnm????????≤當m=n時，排列稱為全排列，排列數(shù)為=記為n!且

4、規(guī)定nnA(1)21nn??????O!=1.注：!(1)!!nnnn????11???mnmnnAA4.⑴組合的定義:從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.⑵組合數(shù)的定義:從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)用符號表示.mnC⑶組合數(shù)公式:.(1)(1)!!!()!mmnnmmAnnnmnCAmmnm????????規(guī)定，

5、其中m，n∈N，m≤n.01nC?注:排列是“排成一排”，組合是“并成一組”前者有序而后者無序.排列與組合⑷組合數(shù)的兩個性質(zhì):①從n個不同元素中取出m個元素后就剩下nm個元素，因此從n個mnmnnCC??不同元素中取出nm個元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的.②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n1個不同元素中取m個11mmmnnnCCC????元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再

6、取m1個元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個元1?mn素中取出m個元素，所以共有C種，依分類原理有.mnmnmnmnCCC11????5解排列、組合題的基本策略與方法(Ⅰ)排列、組合問題幾大解題方法：①直接法②排除法③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法

7、主要解決“元素不相鄰問題”.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.⑥調(diào)序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能nnA()mmn?mmA取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個元素排

8、成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法.mmnnAA(Ⅱ)排列組合常見解題策略：①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價轉(zhuǎn)化策略；⑤相鄰問題插空處理策略；⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略.6.二項式定理:⑴對于，這個公nN

9、??00110()nnnrnrrnnnnnnabCabCabCabCab???????????式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的展開式.()nab?注:展開式具有以下特點：項數(shù)：共有項；1?n系數(shù)：依次為組合數(shù)210nnrnnnnCCCCC??且每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開.⑵二項展開式的通項：的展開式第r1為.()nab?1(0)rnrrrnTCabrnrZ????≤≤⑶二項式系

10、數(shù)的性質(zhì).①二項展開式中的叫做二項式系數(shù)(012)rnCrn??第5頁第6頁從集合的角度看，由事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集I中由事A件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.概率4.相互獨立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.注:獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立

11、事件.⑴兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(AB)=P(A)P(B).證明：設(shè)甲試驗共有N1種等可能的不同結(jié)果，其中屬于A發(fā)生的結(jié)果有m1種，乙試驗共有N2種等可能的不同結(jié)果，其中屬于B發(fā)生的結(jié)果有m2種，由于事件A與B相互獨立，N1，m1與N2，m2之間是相互沒有影響的，那么，甲、乙兩試驗的結(jié)果搭配在一起，總共有N1N2種不同的搭配，顯然這些搭配都是具有等可能性的.另外，考察屬于事件AB的試驗結(jié)果，顯然，

12、凡屬于A的任何一種試驗的結(jié)果同屬于B的任何一種乙試驗的結(jié)果的搭配，都表示A與B同時發(fā)生，即屬于事件AB，這種結(jié)果總共有m1m2種.因此得：P(AB)＝＝∴P(AB)＝P(A)P(B)2121NNmm??11Nm22Nm注:當兩個事件同時發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個事件發(fā)生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.⑵推廣:如果事件相互獨立那么12nAAA?1212()()()()nnPAAAPAPAPA?????⑶獨立重復(fù)試驗：若n

13、次重復(fù)試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是獨立的.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率：.(注:此式為二項式[(1P)P]n展開式的第k1項.)()(1)kknknnPkCPP???注:①一般地，如果事件A與B相互獨立，那么A與與B，與也都相互獨立.BAAB②對任何兩個事件都有()()()()PABPAPBPAB?????概率例11.10張獎券中只有

14、3張有獎，5個人購買，至少有1人中獎的概率是()(A)(B)(C)(D)310112121112例12.2006年6月7日甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12.假定在這天兩地是否下雨相互之間沒有影響那么甲、乙都不下雨的概率是()(A)0.102(B)0.132(C)0.748(D)0.982例13.從1，2，……，9這九個數(shù)中，隨機抽取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)的和為偶數(shù)的概率是()(A)(B)(C)(D)959421112

15、110例14.袋中有紅球、黃球、白球各1個，每次任取一個，有放回地抽取3次，則下列事件中概率是的是()89(A)顏色全相同(B)顏色不全相同(C)顏色全不同(D)顏色無紅色例15.袋中裝有白球和黑球各3個，從中任取2球，在下列事件中：(1)恰有1個白球和恰有2個白球；(2)至少有1個白球和全是白球；(3)至少有1個白球和至少有1個黑球；(4)至少有1個白球和全是黑球。是對立事件的為()(A)(1)(B)(2)(C)(3)(D)(4)例1

16、6.甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是了()(A)(B)(C)(D)21pp)1()1(1221pppp???211pp?)1)(1(121pp???例17.某班有50名學生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程從班級中任選兩名學生他們是選修不同課程的學生的概率是(結(jié)果用分數(shù)表示)概率例18.某商場開展促銷抽獎活動，搖出的中獎號碼是8，2，5，3，

17、7，1，參加抽獎的每位顧客從0～9這10個號碼中任意抽出六個組成一組，若顧客抽出的六個號碼中至少有5個與搖出的號碼相同(不計順序)即可得獎，則中獎的概率是________(用數(shù)字作答)例19.某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結(jié)論：①他第3次擊中目標的概率是0.9；②他恰好擊中目標3次的概率是0.930.1；③他至少擊中目標1次的概率是10.14.其中正確結(jié)論的序號是_

18、_(寫出所有正確結(jié)論的序號).例20.A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子（x、y、z≥0，且），B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，兩人各自從自己6???zyx的箱子中任取一球比顏色，規(guī)定同色時為A勝，異色時為B勝.（1）用x、y、z表示B勝的概率；（2）當A如何調(diào)整箱子中球時，才能使自己獲勝的概率最大？隨機變量與統(tǒng)計1.隨機試驗:⑴試驗如果滿足下述條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明

19、確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.它就被稱為一個隨機試驗.⑵如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量如果隨機變量可以按一定次序一一列出這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.注:若隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量.2.離散型隨機變量：設(shè)離散型隨機變量ξ可能取的值為：??21ixxxξ取每一個值的概率，則表稱