托勒密定理及圓的其它定理

1、托勒密定理定理圖定理的內(nèi)容托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)定理提出定理的內(nèi)容。摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。定

2、理表述：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)定理內(nèi)容指圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。證明一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）在任意凸四邊形ABCD中(如右圖)，作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD連接DE.則△ABE∽△ACD所以

3、BECD=ABAC即BEAC=ABCD(1)證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD②。①②得AC(BPDP)=ABCDADBC即ACBD=ABCDADBC四、廣義托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD四邊長分別為abcd兩條對角線長分別為mn，則有：m^2n

4、^2=a^2c^2b^2d^22abcdcos(AC)推論1.任意凸四邊形ABCD，必有ACBD≤ABCDADBC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點共圓時取等號。2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內(nèi)接于一圓、推廣托勒密不等式：凸四邊形的兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積，取等號當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(ab)(cd)(ad)(bc)=(ac)(bd)，兩邊取模，得不等