大學(xué)物理幾何光學(xué)

1、第 章　幾何光學(xué),幾何光學(xué)是光學(xué)的一個重要分支，它以光的直線傳播等實驗規(guī)律為基礎(chǔ)，用幾何方法研究光在透明介質(zhì)中的傳播及光學(xué)儀器的成象等問題。　　　本章主要內(nèi)容有：幾何光學(xué)的基本規(guī)律、費馬原理、與成象有關(guān)的基本概念、近軸成象理論。,§1 幾何光學(xué)的基本定律,光線—光能傳播方向的幾何線光束—有一定幾何關(guān)系的一些光線的集合,一. 幾個定義,1. 光源,光源—任何發(fā)光物體：太陽、燭焰、鎢絲白熾燈、日 光燈、高壓水銀熒光

2、燈等,點光源—可看成幾何上的點，只有空間位置無體積的光源,2. 光線和光束,光束：（1）平行光束：所有的光線均為平行直線，通常對應(yīng)無限遠(yuǎn)的光。（2）同心光束：發(fā)自或匯聚一點。（3）象散光束：既不是平行光束，也不是同心光束,平行光束 同心光束,象散光束,二、幾個規(guī)律1. 光的直線傳播定律：光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播,(1) 光的反射定律：反射線位于入射面內(nèi)，反射線和入射線分居法線兩側(cè)，反射角等于入射角，即,2

3、. 光的折射反射定律：,(2) 光的折射定律：折射線位于入射面內(nèi),折射線與入射線分居法線兩側(cè)，入射角的正弦與折射角的正弦之比為一與入射角無關(guān)的常數(shù)，即,*漫射：當(dāng)界面粗糙時,各入射點處法線不平行,即使入射光是平行的,反射光和折射光也向各方向分散開—漫反射或漫折射。,3.光的獨立傳播定律和光路可逆性原理,光在傳播過程中與其他光束相遇時，各光束都各自獨立傳播，不改變其傳播方向。,光沿反方向傳播時，必定沿原光路返回。即在幾何光學(xué)中，任何光路都

4、是可逆的。,4、全反射,,只有反射光，沒有透射光的現(xiàn)象。,,,,,,,,,,,,i1,i2,,,ic,臨界角：,三、幾何光學(xué)定律成立的條件,（1）必須是均勻介質(zhì)，即同一介質(zhì)的折射率處處相等，折射率不是位置的函數(shù)。（2）必須是各向同性介質(zhì)，即光在介質(zhì)中傳播時各個方向的折射率相等，折射率不是方向的函數(shù)。,,（3）光強(qiáng)不能太強(qiáng)，否則巨大的光能量會使線性疊加原理不再成立而出現(xiàn)非線性情況。,（4）光學(xué)元件的線度應(yīng)比光的波長大得多，否則不能把光

5、束簡化為光線。,§2 費馬原理,科學(xué)真正的價值在于我們能夠找到一種思想方法，從而解開自然界依存與運動的規(guī)律,一.費馬原理的第一種表述：,1650年，第一個能夠稱之為科學(xué)的思想方法誕生了。這就是費馬原理,時間最小原理：光從一個點進(jìn)到另一個點的所有可能路徑中，光只選擇其中所需時間最短的路徑,反射定律的原因,,,,,,,空氣,水,,,,,D,A,B,E,,E,,B`,,C,,折射定律的原因,,,,,,,二、費馬定理的應(yīng)用,

6、1、倒易原理若從A到B找到一條耗時最短的路徑，則由B返回A同樣沿這條路徑耗時最短。2、光在平行平面玻璃中的路徑,,,,,,,,A,3、日出、日落,地球的大地高處稀薄，底部稠密，光在真空中傳播要比空氣中快，因而太陽光不沿地平線地平線進(jìn)行。,,,,,真實太陽,太陽的像,4、光學(xué)儀器的聚焦,唯一使其它鄰近光線也能匯聚到A’點，只有一個方法，是使這些路徑所耗的時間恰好相等,,,,,A,B,B’,A’,會聚透鏡,為了匯聚電光源發(fā)出的光，而設(shè)計

7、得光學(xué)器件。使所有沿不同路徑傳播的光線到達(dá)A’的時間相等,,,,,,,,橢球曲面反光鏡,r1+r2=常數(shù),,平行光聚焦,XX’+X’P=常數(shù)A’A’’=A’P,,,,,,,,,,,,,,,A,B,X,D,A’,B’,X’,D’,,A’’,B’’,D’’,X’’,P,結(jié)論,綜上所述，為了聚焦，所有光線傳播的時間必須精確相等，同時也必須小于鄰近任何一條路徑所花的時間,費馬原理的精確表述,光是沿著光程取極值的路徑傳播的光程：L=ns,,,

8、,,n1,n2,ni,nN,,,,,S1,S2,Si,SN,費馬原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式,光程在取極值的路徑上傳播。極大值；極小值；常數(shù)。,費馬原理,光程取常數(shù)的實例,光程取極小值的實例,光程取極大值的實例,,,,,,,,r2,,光程表示光在介質(zhì)中通過真實路程所需時間內(nèi),在真空中所能傳播的路程。,直接用真空中的光速來計算光在不同介質(zhì)中通過一定幾何路程所需要的時間。,分區(qū)均勻介質(zhì):,連續(xù)介質(zhì):,光程表示光在介質(zhì)中通過真實路程所需時間內(nèi),在真空中

9、所能傳播的路程。,二、費馬原理,1.表述：光在空間兩定點間傳播時，實際光程為一特定的極值。,2.表達(dá)式：,3.說明：,意義：費馬原理是幾何光學(xué)的基本原理，用以描述光在空間兩定點間的傳播規(guī)律。,極值的含義：極小值，極大值，恒定值。一般情況下，實際光程大多取極小值。,三. 由費馬原理導(dǎo)出幾何光學(xué)定律,在均勻介質(zhì)中折射率為常數(shù),1.直線傳播定律：,.,.,所以光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播,而由公理：兩點間直線距離最短,的極小值為直線AB,2.光的

10、反射定律,P’是P點關(guān)于Σ面的對稱點。,P，Q，O三點確定平面Π。,直線QP’與反射面Σ交于O點。,則易知當(dāng)i’=i時，QO + OP為光程最短的路徑。,Q點發(fā)出的光經(jīng)反射面Σ到達(dá)P點,3.光的折射定律：,Ａ點發(fā)出的光線入射到兩種介質(zhì)的平面分界面上，折射后到達(dá)Ｂ點。,① 折射線在入射線和法線決定的平面內(nèi),如圖：只需證明折射點C點在交線OO’上即可.,反證法：設(shè)有另一點C’位于OO’線外，則在OO’上必可找到其垂足C’’，,即光程ΔAC’

11、B> ΔAC’’B 這與費馬原理矛盾!,所以折射點在交線上，折射線在入射線和法線所決定的平面內(nèi),②折射線、入射線分居法線兩側(cè),A、B、C點坐標(biāo)如圖，沿此方向入射必有,ACB光程為：,光程取極值，光程對x求一階導(dǎo)數(shù), 令其為0,由三角形幾何關(guān)系可得,回轉(zhuǎn)拋物面焦點發(fā)出的光，反射后變?yōu)槠叫泄?，匯聚在無窮遠(yuǎn)處，光程為極大值。,回轉(zhuǎn)橢球面內(nèi)兩焦點間光的路徑，光程為恒定值。,在回轉(zhuǎn)橢球面上一點作相切的平面和球面，則經(jīng)平面反射的光線中，

12、實際光線光程最小，經(jīng)球面反射的光線中，實際光線光程最大。,4．  物像之間的等光程性 可以證明：在物點Q與像點Q’之間，不管光線經(jīng)何路徑，凡是由Q通過同樣的光學(xué)系統(tǒng)到達(dá)Q’的光線，都是等光程的。,,,,,,,,,Q,Q’,§3.單心光束 實像和虛像,一.單心光束、實像、虛像,1.發(fā)光點：只有幾何位置而沒有大小的發(fā)射光束的 光源。,若光線實際發(fā)自于某點，則稱該點為實發(fā)光點；,若某點為諸光

13、線反向延長線的交點，則該點稱為虛發(fā)光點。,2.單心光束：只有一個交點的光束，稱單心光束。此交點也稱為光束的頂點。,發(fā)散單心光束,會聚單心光束,3.實像、虛像,當(dāng)頂點為光束的發(fā)出點時，該頂點稱為光源、物點。,當(dāng)單心光束經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)折射或反射后，仍能找到一個頂點，稱光束保持了其單心性。該頂點稱為象點。,實象：有實際光線會聚的象點。虛象：無實際光線會聚的象點。 （光束反向延長線的交點）。,實像,虛像,光學(xué)系統(tǒng),光學(xué)系統(tǒng),,二、物空

14、間與像空間,§4 光在平面介面上的反射和折射,一般情況下，光在介面上反射和折射后，其單心性不再保持。但只要滿足適當(dāng)?shù)臈l件，可以近似地得到保持。接下來的兩節(jié)，主要研究在不同介面反射、折射時，光束單心性的保持情況。,一、光在平面上的反射,點光源P發(fā)出單心光束，經(jīng)平面鏡反射后，形成一束發(fā)散光束，其反向延長線交于一點P‘，且與P點對稱。,平面鏡是一個不破壞光束單心性、理想成像的完善的光學(xué)系統(tǒng)。并且也是唯一的一個。,二、光在平面介面上的

15、折射,光束單心性的破壞,介質(zhì)n1中的發(fā)光點P發(fā)出單心光束經(jīng)介面XOZ折射后進(jìn)入介質(zhì)n2，現(xiàn)取其中一微元光束，在XOY平面內(nèi),其折射光束的反向延長線交于P’點，并與OY軸交于P1、P2兩點。,折射后，光束的單心性已被破壞!,三.全反射 光學(xué)纖維,全反射：,全反射的條件：,只有反射而無折射的現(xiàn)象稱為全反射。,應(yīng)用：光學(xué)纖維,四.棱鏡,1.偏向角、最小偏向角：,棱鏡是一種由多個平面界面組合而成的光學(xué)元件。光通過棱鏡時，產(chǎn)生兩個或兩個以上界面

16、的連續(xù)折射，傳播方向發(fā)生偏折。最常用的棱鏡是三棱鏡。,三棱鏡兩折射面的夾角稱三棱鏡頂角A。,出射光與入射光之間的夾角稱棱鏡的偏向角?。,此時，入射角,最小偏向角：,可以證明：當(dāng)光路對稱,若此時三棱鏡處于空氣中,分光：當(dāng)用白光入射時，由于折射率的不同，出射光將展開成彩帶即光譜。,改變光路：如右圖示,2.應(yīng)用,§5 光在單球面上的近軸成象,一.基本概念和符號規(guī)則,光軸：若光學(xué)系統(tǒng)由球面組成，各球心的連線在一條直線上，則稱為共軸球

17、面系統(tǒng)，這條直線為該光學(xué)系統(tǒng)的光軸。,光軸,頂點,（1）線段：光軸方向上，以頂點為起點，沿光線進(jìn)行方向為正，反之為負(fù)；垂直方向上，主光軸上方為正，反之為負(fù)。,（2）球面的曲率半徑：球心在球面頂點的右方為正，反之為負(fù)。(自左向右為正方向）,符號規(guī)則：,★,（3）物距：自參考點（球面頂點、薄透鏡的光心）到物點，沿光線方向為正，反之為負(fù)。,（4）象距：自參考點（球面頂點、薄透鏡的光心）到象點，沿光線方向為正，反之為負(fù)。,（5）物高和象高：物高

18、和象高垂直于光軸，向上為正，反之為負(fù)。,（6）角度：以光軸或界面法線為始邊，旋轉(zhuǎn)到該光線，旋轉(zhuǎn)方向為順時針，角度為正，反之為負(fù)。,此外，還規(guī)定在圖上只標(biāo)記角度和線段的絕對值，若某一字母表示負(fù)的數(shù)值，則在其前面標(biāo)以負(fù)號。,★,★,單球面折射光線追跡公式,所謂追跡就是研究如何畫出正確的光路,,φ,根據(jù)幾何關(guān)系，利用余弦定理得,對ΔQMC有： (-p)2=[r+(-s)]2+r2-2r(r-s)cosφ對ΔMCQ’有： p’2=[s’-

19、r]2+r2+2r(s’-r)cosφ光程：L=np+n’p’=,根據(jù)費馬定理：,dL/df=0得,二、球面反射對單心性的破壞,從主軸上P點發(fā)出單心光束，其中一條光線在球面上A點反射，反射光與主軸交于P’點。即P’為P的像。,,在ΔPAC和ΔP’AC中由余弦定理有：,,對給定的物點，不同的入射點，對應(yīng)著不同的入射線和反射線，對應(yīng)著不同的 。,光程：,對一定的球面和發(fā)光點P（S一定），不同的入射點對應(yīng)有不同的S‘。即：同

20、一個物點所發(fā)出的不同光線經(jīng)球面反射后不再交于一點。,由P點所發(fā)出的單心光束經(jīng)球面反射后，單心性被破壞。,,三、近軸光線下球面反射的物像公式,1.近軸光線條件,即：對一定的反射球面，Ｓ‘和Ｓ一一對應(yīng)，而與入射點無關(guān)。,∴ 由P點所發(fā)出的單心光束，經(jīng)球面反射后將交于一點P‘，光束的單心性得以保持。一個物點將有一個確定像點與之對應(yīng)。,光學(xué)上稱： 很小的區(qū)域為近軸（或傍軸）區(qū)域，此區(qū)域內(nèi)的光線為近軸光線。,∴ 近軸條件下球面反射不破

21、壞光束的單心性。,2.物像公式,F`,焦點：沿主軸方向的平行光束經(jīng)球面反射后將會聚于主軸上一點，該點稱為反射球面的焦點(F’)。,2,r,F`,焦距：焦點到球面頂點的距離（ ）。,說明： 1、它是球面反射成像的基本公式，只在近軸條件下成立；,2、式中各量必須嚴(yán)格遵從符號法則；,3、對凸球面反射同樣適用；,4、當(dāng)光線從右至左時同樣適用。,球面反射的物象公式,四.球面折射對光束單心性的破壞,從主軸上P點發(fā)出單心光束，其

22、中一條光線在球面上A點折射，折射光與主軸交于P`點。即P`為P的像。,光程：,對給定的物點，不同的入射點，對應(yīng)著不同的入射線和折射線，對應(yīng)著不同的 。,,對一定的球面和發(fā)光點P（S一定），不同的入射點對應(yīng)有不同的S‘。即：同一個物點所發(fā)出的不同光線經(jīng)球面折射后不再交于一點。,由P點所發(fā)出的單心光束經(jīng)球面折射后，單心性被破壞,五.近軸光線下球面折射的物像公式,1.近軸光線條件及物像公式,2.討論：,①當(dāng)介質(zhì)和球面一定時（n,n’,r

23、 一定），S’與S一一對應(yīng)，即：在近軸光線條件下光束單心性得到保持。,② 當(dāng)介質(zhì)和球面一定（即n,n’,r 一定）時，,光焦度：表征球面光學(xué)性質(zhì) 單位為屈光度(D),計算時r 取米為單位,③焦點、焦距,A、像方焦點 F’、像方焦距,F`,當(dāng),B、物方焦點F、物方焦距,F,C、,∵,例1,一個折射率為1.6的玻璃啞鈴，長20cm，兩端的曲率半徑為 2cm。若在離啞鈴左端5cm處的軸上有一物點,試求像的位置和

24、性質(zhì)。,解：兩次折射成像問題,1、P為物對球面O1折射成像P1’,2、P1‘為物對球面O2折射成像,§6 薄透鏡,一.透鏡,1、定義：用玻璃或其它透明介質(zhì)研磨拋光為兩個 球面或一個球面一個平面所形成的薄片。 通常做成圓形。,2、分類：,① 凸透鏡：中間部分比邊緣厚的透鏡。,彎凸,平凸,② 凹透鏡：中間部分比邊緣薄的透鏡。,雙凹,平凹,彎凹,二、近軸條件下