第十章--統(tǒng)計學方差分析

1、10.1 方差分析引論 10.2 單因素方差分析10.3 雙因素方差分析(不作要求）,第10章 方差分析,學習目標,解釋方差分析的概念解釋方差分析的基本思想和原理掌握單因素方差分析的方法及應用理解多重比較的意義了解雙因素方差分析的方法及應用,重點 方差分析的基本思想和原理 難點 結合具體數據在計算機上實踐子方差分析,本章教學重點與難點,10.1 方差分析引論,10.1.1

2、方差分析及其有關術語10.1.2 方差分析的基本思想和原理10.1.3 方差分析的基本假定10.1.4 問題的一般提法,方差分析及其有關術語,什么是方差分析(ANOVA)?(analysis of variance),檢驗多個總體均值是否相等通過分析數據的誤差判斷各總體均值是否相等研究分類型自變量對數值型因變量的影響 一個或多個分類型自變量兩個或多個 (k 個) 處理水平或分類一個數值型因變量有單因素方差分析和

3、雙因素方差分析單因素方差分析：涉及一個分類的自變量雙因素方差分析：涉及兩個分類的自變量,什么是方差分析?(例題分析),【 例 】為了對幾個行業(yè)的服務質量進行評價，消費者協(xié)會在4個行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費者對總共23家企業(yè)投訴的次數如下表,什么是方差分析? (例題分析),分析4個行業(yè)之間的服務質量是否有顯著差異，也就是要判斷“行業(yè)”對“投訴次數”是否有顯著影響作出這種判斷最終被歸結為檢驗這四個行業(yè)被投訴次數的

4、均值是否相等若它們的均值相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數是沒有影響的，即它們之間的服務質量沒有顯著差異；若均值不全相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數是有影響的，它們之間的服務質量有顯著差異,方差分析中的有關術語,因素或因子(factor)所要檢驗的對象分析行業(yè)對投訴次數的影響，行業(yè)是要檢驗的因子水平或處理(treatment)因子的不同表現零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)觀察值在每個因素水平下得到的樣本數據每個行業(yè)被

5、投訴的次數,方差分析中的有關術語,試驗這里只涉及一個因素，因此稱為單因素4水平的試驗總體因素的每一個水平可以看作是一個總體零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)是4個總體樣本數據被投訴次數可以看作是從這4個總體中抽取的樣本數據,方差分析的基本思想和原理,,方差分析的基本思想和原理(圖形分析—散點圖),從散點圖上可以看出不同行業(yè)被投訴的次數有明顯差異同一個行業(yè)，不同企業(yè)被投訴的次數也明顯不同家電制造被投訴的次數較高，航空

6、公司被投訴的次數較低行業(yè)與被投訴次數之間有一定的關系如果行業(yè)與被投訴次數之間沒有關系，那么它們被投訴的次數應該差不多相同，在散點圖上所呈現的模式也就應該很接近,方差分析的基本思想和原理(圖形分析),散點圖觀察不能提供充分的證據證明不同行業(yè)被投訴的次數之間有顯著差異這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的需要有更準確的方法來檢驗這種差異是否顯著，也就是進行方差分析所以叫方差分析，因為雖然我們感興趣的是均值，但在判斷均值之間是否有

7、差異時則需要借助于方差這個名字也表示：它是通過對數據誤差來源的分析判斷不同總體的均值是否相等。因此，進行方差分析時，需要考察數據誤差的來源,方差分析的基本思想和原理,方差分析的基本思想和原理(兩類誤差),隨機誤差因素的同一水平(總體)下，樣本各觀察值之間的差異比如，同一行業(yè)下不同企業(yè)被投訴次數之間的差異這種差異可以看成是隨機因素的影響，稱為隨機誤差 系統(tǒng)誤差因素的不同水平(不同總體)之間觀察值的差異比如，不同行業(yè)之間的被

8、投訴次數之間的差異這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的，也可能是由于行業(yè)本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差,方差分析的基本思想和原理(誤差平方和—SS),1.數據的誤差用平方和(sum of squares)表示2.組內平方和(within groups)因素的同一水平下數據誤差的平方和比如，零售業(yè)被投訴次數的誤差平方和只包含隨機誤差3.組間平方和(between groups)3.因素的

9、不同水平之間數據誤差的平方和比如，4個行業(yè)被投訴次數之間的誤差平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差,方差分析的基本思想和原理(均方—MS),平方和除以相應的自由度若原假設成立，組間均方與組內均方的數值就應該很接近，它們的比值就會接近1若原假設不成立，組間均方會大于組內均方，它們之間的比值就會大于1當這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在著顯著差異，即自變量對因變量有影響判斷行業(yè)對投訴次數是否有顯著影響，也就是檢驗

10、被投訴次數的差異主要是由于什么原因所引起的。如果這種差異主要是系統(tǒng)誤差，說明不同行業(yè)對投訴次數有顯著影響,方差分析的基本假定,方差分析的基本假定,每個總體都應服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本比如，每個行業(yè)被投訴的次數必須服從正態(tài)分布各個總體的方差必須相同各組觀察數據是從具有相同方差的總體中抽取的比如，4個行業(yè)被投訴次數的方差都相等觀察值是獨立的比如，每個行業(yè)被投訴的次數與其他行

11、業(yè)被投訴的次數獨立,方差分析中的基本假定,在上述假定條件下，判斷行業(yè)對投訴次數是否有顯著影響，實際上也就是檢驗具有同方差的4個正態(tài)總體的均值是否相等如果4個總體的均值相等，可以期望4個樣本的均值也會很接近4個樣本的均值越接近，推斷4個總體均值相等的證據也就越充分樣本均值越不同，推斷總體均值不同的證據就越充分,方差分析中基本假定,? 如果原假設成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m44個行業(yè)被投訴次數的均值都相等意

12、味著每個樣本都來自均值為??、方差為? 2的同一正態(tài)總體,,X,f(X),?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4,,方差分析中基本假定,?若備擇假設成立，即H1 ： mi (i=1,2,3,4)不全相等至少有一個總體的均值是不同的4個樣本分別來自均值不同的4個正態(tài)總體,問題的一般提法,問題的一般提法,設因素有k個水平，每個水平的均值分別用?1 , ?2, ?, ?k 表示要檢驗k個水平(總體)的均值是否相等，需要提出如下假設： H

13、0 ： ?1 ? ?2 ? …? ?k H1 ： ?1 , ?2 , ?，?k 不全相等設?1為零售業(yè)被投訴次數的均值，?2為旅游業(yè)被投訴次數的均值，?3為航空公司被投訴次數的均值，?4為家電制造業(yè)被投訴次數的均值，提出的假設為H0 ： ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 H1 ： ?1 , ?2 , ?3 , ?4 不全相等,,10.2 單因素方差分析,10.2.1 數據結構10.2.2 分析步驟10.2.3

14、 關系強度的測量10.2.4 方差分析中的多重比較,單因素方差分析的數據結構(one-way analysis of variance),分析步驟提出假設構造檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計決策,提出假設,一般提法H0 ：m1 = m2 =…= mk 自變量對因變量沒有顯著影響 H1 ：m1 ，m2 ，… ，mk不全相等自變量對因變量有顯著影響 注意：拒絕原假設，只表明至少有兩個總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不

15、相等,構造檢驗的統(tǒng)計量,構造統(tǒng)計量需要計算水平的均值全部觀察值的總均值誤差平方和均方(MS),構造檢驗的統(tǒng)計量(計算水平的均值),假定從第i個總體中抽取一個容量為ni的簡單隨機樣本，第i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數計算公式為,式中： ni為第 i 個總體的樣本觀察值個數 xij 為第 i 個總體的第 j 個觀察值,構造檢驗的統(tǒng)計量(計算全部觀察值的總均值),全部觀察值的

16、總和除以觀察值的總個數計算公式為,構造檢驗的統(tǒng)計量(例題分析),,構造檢驗的統(tǒng)計量(計算總誤差平方和 SST),全部觀察值 與總平均值 的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計算公式為,前例的計算結果 SST = (57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2 =115.9295,構造檢驗的統(tǒng)計量(計算組間平方和 SSA),各組平均值

17、 與總平均值 的離差平方和反映各總體的樣本均值之間的差異程度該平方和既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差計算公式為,前例的計算結果 SSA = 1456.608696,構造檢驗的統(tǒng)計量(計算組內平方和 SSE ),每個水平或組的各樣本數據與其組平均值的離差平方和反映每個樣本各觀察值的離散狀況該平方和反映的是隨機誤差的大小計算公式為,前例的計算結果 SSE = 2708,構造檢驗的統(tǒng)計量(

18、三個平方和的關系),?總離差平方和(SST)、誤差項離差平方和(SSE)、水平項離差平方和 (SSA) 之間的關系,SST = SSA + SSE,,,,前例的計算結果 4164.608696=1456.608696+2708,,構造檢驗的統(tǒng)計量(計算均方MS),各誤差平方和的大小與觀察值的多少有關，為消除觀察值多少對誤差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差由誤差平方和除以相應的自由度求得三個平方和對應的

19、自由度分別是SST 的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個數SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個數SSE 的自由度為n-k,構造檢驗的統(tǒng)計量(計算均方 MS),組間方差：SSA的均方，記為MSA，計算公式為,組內方差：SSE的均方，記為MSE，計算公式為,構造檢驗的統(tǒng)計量(計算檢驗統(tǒng)計量 F ),將MSA和MSE進行對比，即得到所需要的檢驗統(tǒng)計量F當H0為真時，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為

20、n-k 的 F 分布，即,,構造檢驗的統(tǒng)計量(F分布與拒絕域),如果均值相等，F=MSA/MSE?1,統(tǒng)計決策,? 將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平?的臨界值F?進行比較，作出對原假設H0的決策根據給定的顯著性水平?，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k 相應的臨界值 F? 若F>F? ，則拒絕原假設H0 ，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗的因素對觀察值有顯著影響若F<F? ，則不拒

21、絕原假設H0 ，無證據表明所檢驗的因素對觀察值有顯著影響,,單因素方差分析表(基本結構),,單因素方差分析(例題分析),,用Excel進行方差分析 (Excel分析步驟),第1步：選擇“工具 ”下拉菜單第2步：選擇【數據分析】選項第3步：在分析工具中選擇【單因素方差分析】 ,然后選擇【確定】第4步：當對話框出現時 在【輸入區(qū)域 】方框內鍵入數據單元格區(qū)域 在【?】方框內鍵入

22、0.05(可根據需要確定) 在【輸出選項 】中選擇輸出區(qū)域,關系強度的測量,關系強度的測量,拒絕原假設表明因素(自變量)與觀測值之間有顯著關系組間平方和(SSA)度量了自變量(行業(yè))對因變量(投訴次數)的影響效應只要組間平方和SSA不等于0，就表明兩個變量之間有關系(只是是否顯著的問題) 當組間平方和比組內平方和(SSE)大，而且大到一定程度時，就意味著兩個變量之間的關系顯著，大得越多，表明它們之間的

23、關系就越強。反之，就意味著兩個變量之間的關系不顯著，小得越多，表明它們之間的關系就越弱,關系強度的測量,變量間關系的強度用自變量平方和(SSA) 占總平方和(SST)的比例大小來反映自變量平方和占總平方和的比例記為R2 ,即其平方根R就可以用來測量兩個變量之間的關系強度,關系強度的測量(例題分析),R=0.591404結論行業(yè)(自變量)對投訴次數(因變量)的影響效應占總效應的34.9759%，而殘差效應則占65.0241%。

24、即行業(yè)對投訴次數差異解釋的比例達到近35%，而其他因素(殘差變量)所解釋的比例近為65%以上 R=0.591404，表明行業(yè)與投訴次數之間有中等以上的關系,方差分析中的多重比較 (multiple comparison procedures),多重比較的意義,通過對總體均值之間的配對比較來進一步檢驗到底哪些均值之間存在差異可采用Fisher提出的最小顯著差異方法，簡寫為LSDLSD方法是對檢驗兩個總體均值是否相等的t檢驗方法的

25、總體方差估計加以修正(用MSE來代替)而得到的,多重比較的步驟,提出假設H0: mi=mj (第i個總體的均值等于第j個總體的均值)H1: mi?mj (第i個總體的均值不等于第j個總體的均值)計算檢驗的統(tǒng)計量: 計算LSD決策：若 ，拒絕H0；若 ，不拒絕H0,多重比較分析(例題分析),第1步：提出假設檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：

26、檢驗5：檢驗6：,方差分析中的多重比較(例題分析),第2步：計算檢驗統(tǒng)計量檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：,方差分析中的多重比較(例題分析),第3步：計算LSD檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：,方差分析中的多重比較(例題分析),第4步：作出決策,不能認為零售業(yè)與旅游業(yè)均值之間有顯著差異,不能認為零售業(yè)與航空公司均值之間有顯著差異,不能認為零售業(yè)與家電業(yè)均值之間有顯著差異,不能認