應(yīng)用統(tǒng)計(jì)-點(diǎn)估計(jì)方法

1、參數(shù)點(diǎn)估計(jì)　參數(shù)點(diǎn)估計(jì)是對(duì)參數(shù)取哪一個(gè)值作出估計(jì)．定義：設(shè)總體的分布已知，但其中含有未知參數(shù)?。梢允且粋€(gè)向量），點(diǎn)估計(jì)就是依據(jù)某種原理，根據(jù)樣本來(lái)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量　（可以是一個(gè)向量）作為　的估計(jì)量，記為,,,,,,,,,,,當(dāng)樣本取定一個(gè)觀察值時(shí)，估計(jì)量也有一個(gè)值，這個(gè)值稱為估計(jì)值，不同的抽樣，有不同的估計(jì)值，它與真值會(huì)有差異，這種差異除了抽樣帶來(lái)的誤差外，與估計(jì)量的形式有關(guān)．因此，選取統(tǒng)計(jì)量也是非常重要的．我們介紹兩種統(tǒng)計(jì)量的方法：矩

2、法與極大似然法,,,,,,,,,,,矩法估計(jì)假設(shè)樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則由大數(shù)定律，有,,,,,,,,,,,其中當(dāng)n比較大時(shí),,,,,,,,,,,利用這種近似相等關(guān)系的思想，得到矩法估計(jì)的定義．定義：用樣本原點(diǎn)矩去代替總體相應(yīng)的原點(diǎn)矩得到的參數(shù)的估計(jì)量的方法稱為矩法，稱這種估計(jì)為矩法估計(jì)量．,,,,,,,,,,,例　設(shè)總體　　　　　，其中a,b為未知參數(shù)，現(xiàn)從中抽取一個(gè)樣本觀察值（２,3,2,4,3),試用矩法估計(jì)a,b

3、的值．解：,,,,,,,,,,,先求估計(jì)量，由矩法得方程組由于,,,,,,,,,,,注意到解得：,,,,,,,,,,,我們計(jì)算得到這樣得到a,b的估計(jì)值是,,,,,,,,,,,例　設(shè)總體Ｘ的分布密度為　其中　為未知參數(shù)，現(xiàn)從中抽取一個(gè)樣本，試求　的矩法估計(jì)量．解：,,,,,,,,,,,由于故令得到估計(jì)量通常我們是采用下面的方法,,,,,,,,,,,另解我們可認(rèn)為而由矩法，我們令

4、得到,,,,,,,,,,,極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)是利用小概率原理作出估計(jì)的．小概率原理：一個(gè)概率非常小的一個(gè)事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的；也就是說(shuō)，如果一個(gè)事件在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了，那么這個(gè)事件發(fā)生的概率不可能很小，而應(yīng)認(rèn)為其概率會(huì)盡可能地大．,,,,,,,,,,,例　設(shè)總體　　　　　，現(xiàn)從中抽取一個(gè)樣本觀察值（500,300,600,400,700),試估計(jì) 的值．解：,,,,,,,,,,,這里，n是5，設(shè)　

5、　　　　　為樣本，在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生了，而,,,,,,,,,,,是參數(shù)　的函數(shù)，由小概率原理，這個(gè)概率不會(huì)太小，應(yīng)盡可能大，即求這個(gè)概率的最大值．利用求導(dǎo)可得到當(dāng)　　　　　　時(shí)，這個(gè)概率達(dá)到最大．因此，我們有理由認(rèn)為參數(shù)　為500.這就是極大似然估計(jì)．,,,,,,,,,,,一般地，當(dāng)總體為離散型總體，其分布中含有未知參數(shù)　?。梢允窍蛄浚?，　為一個(gè)樣本，　　　　　　　為一次觀察值，稱　為似然函數(shù)．,,,,,,,,,,,稱

6、對(duì)數(shù)似然函數(shù)．稱滿足的　為　極大似然估計(jì)值，記為,,,,,,,,,,,而稱為極大似然估計(jì)量．簡(jiǎn)稱ＭＬ估計(jì)． 上例的一般情況是,,,,,,,,,,,例：設(shè)總體Ｘ服從參數(shù)為　的泊松分布，求的極大似然估計(jì)．,,,,,,,,,,,解：總體Ｘ的分布為　似然函數(shù)為,,,,,,,,,,,對(duì)數(shù)似然函數(shù)為　這兩個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)相同，對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)求導(dǎo)，并令其為０，得,,,,,,,,,,,得到從而極大似然估

7、計(jì)為,,,,,,,,,,,當(dāng)總體是連續(xù)型總體時(shí),我們定義似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為,,,,,,,,,,,例　設(shè)總體　　　　　，試求 的極大似然估計(jì).解：,,,,,,,,,,,解:似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為,,,,,,,,,,,對(duì) 求導(dǎo)并令其為0,得從而解得 的極大似估計(jì),,,,,,,,,,,例　設(shè)總體　　　　　，其中a,b為未知參數(shù)，試求a,b的極大似然估計(jì)．解：總體Ｘ的分布密度,,,,

8、,,,,,,,似然函數(shù)為此函數(shù)沒(méi)有極值,它在邊界上取得最大值.由于,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,注　若總體　　　　　，其中b為未知參數(shù)，則b的極大似然估計(jì)為 若總體　　　　　，其中a為未知參數(shù)，則a的極大似然估計(jì)為,,,,,,,,,,,極大似然估計(jì)的數(shù)值解 極大似然估計(jì)需要求似然方程(組)的解, 但在大多數(shù)情況下,似然方程的解往往沒(méi)有解析表達(dá)式.這時(shí)需要利用數(shù)值方法來(lái)求方