第13講-協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)--太原理工大學(xué)工程碩士概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、1,協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),對于二維隨機(jī)向量(X,Y)， 除了其分量X和Y 的期望與方差之外, 還有一些數(shù)字特征, 用以刻畫X與Y之間的相關(guān)程度，其中最主要的就是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。,定義1：若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在，則稱其為X 與Y 的協(xié)方差，記為Cov(X,Y), 即,一 協(xié)方差,Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. (1),第十三講,2,(3) Cov(X1+X

2、2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ；,(1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X)；,協(xié)方差性質(zhì),(2) 設(shè) a, b, c, d 是常數(shù)，則 Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ；,(4) Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] ，,(5) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y) .,當(dāng) X 和 Y 相

3、互獨(dú)立時(shí)，Cov(X, Y)=0；,3,若 X1, X2, …, Xn 兩兩獨(dú)立，則,性質(zhì)(5)可推廣到 n 個(gè)隨機(jī)變量的情形：,4,協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X 和Y相互間的關(guān)系，但它還受X 和Y 本身度量單位的影響。 例如：,Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y).,為了克服這一缺點(diǎn)，對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù) 。,5,二 相關(guān)系數(shù),為隨機(jī)變量X 和Y 的相關(guān)系數(shù) 。,定義2: 設(shè)Var(X)

4、> 0, Var(Y) > 0, 則稱,在不致引起混淆時(shí)，記 為 。,6,相關(guān)系數(shù)性質(zhì),證：由方差與協(xié)方差關(guān)系，,對任意實(shí)數(shù)b, 有,0≤Var(Y-bX)=b2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y ),,Var(Y-bX) =,由方差Var(Y)>0, 知 1-ρ 2≥ 0, 所以 | ρ |≤1。,7,由于當(dāng) X 和 Y 獨(dú)立時(shí)，Cov(X, Y)= 0 .,請看下例：,(

5、2). X 和Y 獨(dú)立時(shí), ρ=0，但其逆不真；,但ρ=0 并不一定能推出 X 和 Y 獨(dú)立。,所以，,8,證明:,例 1：設(shè) (X,Y) 服從單位 D={ (x, y): x2+y2≤1}上的均勻分布，證明： ?XY = 0。,9,所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 .,同樣，得 E(Y)=0,,此外，Var(X) > 0, Var(Y) > 0 .,所以，?XY = 0，即 X 與

6、 Y 不相關(guān)。,但是，前面已計(jì)算過: X與Y不獨(dú)立。,10,存在常數(shù)a, b(b≠0)，,使 P{ Y = a+bX } = 1 ，即 X 和 Y 以概率 1 線性相關(guān)。,,(3). |ρ|=1,11,但對下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)是一回事：,前面,

7、 我們已經(jīng)看到：,若X 與Y 獨(dú)立，則X 與Y 不相關(guān)；但由X與Y 不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨(dú)立。,若(X, Y )服從二維正態(tài)分布，則X 與Y 獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。,12,定義1：設(shè)X是隨機(jī)變量, 若E(Xk) 存在(k =1, 2, …), 則稱其為X 的 k 階原點(diǎn)矩；若 E{[X-E(X)]k} 存在(k = 1,2, …), 則稱其為X的 k 階中心矩。,矩與協(xié)方差矩陣,一 矩,易知：X 的期望 E(X

8、) 是 X 的一階原點(diǎn)矩，方差Var(X) 是 X 的二階中心矩。,13,定義2：設(shè)X和Y是隨機(jī)變量, 若 E(XkYm) 存在(k, m=1, 2,…), 則稱其為X與Y的 k+m 階混合原點(diǎn)矩；若 E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]m}存在(k, m=1,2,…，則稱其為X與Y的 k+m 階混合中心矩。,14,二 　協(xié)方差矩陣,,將隨機(jī)向量 (X1, X2) 的四個(gè)二階中心矩,排成一個(gè)2×2矩陣

9、 ，,則稱此矩陣為(X1, X2)的方差與協(xié)方差矩陣，簡稱協(xié)方差陣。,15,類似地，我們也可定義n 維隨機(jī)向量 (X1, X2, …, Xn) 的協(xié)方差陣：若隨機(jī)向量的所有的二階中心矩,為(X1, X2, …, Xn) 的協(xié)方差陣。,存在，,則稱矩陣,16,,f (x1, x2, …, xn),則稱X服從n元正態(tài)分布。,其中C是 (X1, X2, …, Xn) 的協(xié)方差陣，,|C|是C的行列式， 表示C的

10、逆矩陣，,X和 是n維列向量， 表示X的轉(zhuǎn)置。,設(shè) =(X1,X2, …,Xn)是一個(gè)n維隨機(jī)向量,若其概率密度,17,n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)：,(1) X =(X1, X2, …, Xn) ' 服從 n 元正態(tài)分布,,對一切不全為 0 的實(shí)數(shù) a1, a2, …, an， a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn 服從正態(tài)分布。,(2) 若 X=(X1,X2, …,Xn)'服從n 元正態(tài)

11、分布，,Y1,Y2,…,Yk 是 Xj (j=1, 2,…, n)的線性組合,,則(Y1,Y2, …, Yk)'服從k 元正態(tài)分布。,這一性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性。,18,,,(3) 設(shè)(X1,X2, …,Xn)服從n元正態(tài)分布，則,“X1,X2, …,Xn兩兩不相關(guān)”。,“X1, X2, …, Xn 相互獨(dú)立” 等價(jià)于,19,例2 設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且X~N(1, 2), Y~N(0, 1)。求 Z = 2X-Y+

12、3 的概率密度。,,知 Z=2X-Y+3 服從正態(tài)分布，且,解: 由X~N(1,2), Y~N(0,1)，且X與Y相互獨(dú)立,,Var(Z) = 4Var(X)+Var(Y) = 8+1 = 9,,E(Z) = 2E(X)-E(Y)+3 = 2-0+3=5 ，,故，Z~N(5, 32) .,Z 的概率密度為,20,[例],解：,21,小結(jié),本講首先介紹二維隨機(jī)向量 (X,Y) 的分量X與Y 的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念、性質(zhì)和計(jì)算；然后介紹

13、隨機(jī)變量的各種矩(k 階原點(diǎn)矩、 k 階中心矩、k+m 階混合原點(diǎn)矩、k+m 階混合中心矩)，n 維隨機(jī)向量的協(xié)方差陣的概念、性質(zhì)和計(jì)算；最后簡單介紹了n 元正態(tài)分布的概念和三條重要性質(zhì)。,22,[例] 設(shè) 的分布列為,求,解,補(bǔ)充,23,[例] 已知,,服從,,上的均勻分布，求,,解,的概率密度,,24,[例] 設(shè)在規(guī)定的時(shí)間段內(nèi)，某電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X（單位：min）是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為,求,解,25,[

14、例] 設(shè)隨機(jī)變量,求,,解,補(bǔ)充,26,[例] 已知隨機(jī)變量,相互獨(dú)立且分別服從,和,，求,的方差．,解,所以,,27,求隨機(jī)變量 和 的密度函數(shù) 和 ，及 和 的相關(guān)系數(shù)(2)問 和 是否獨(dú)立？為什么？,解 （1）由于二維正態(tài)密度函數(shù)的兩個(gè)邊緣密度都是正態(tài)密度函數(shù)，因此有,28,隨機(jī)變量 和 的相關(guān)系數(shù),29,（2）由題設(shè),30