充分統(tǒng)計(jì)量

1、總體結(jié)構(gòu)的信息；總體分布中未知參數(shù)的信息；,§5.5 充分統(tǒng)計(jì)量,樣本中所包含的關(guān)于總體分布的信息分為兩部分：,一個(gè)“好”的統(tǒng)計(jì)量，應(yīng)該能把樣本中包含總體的信息全部提煉出來，即不損失信息的統(tǒng)計(jì)量——充分統(tǒng)計(jì)量。,5.5.1 充分性的概念,例5.5.1 為研究某個(gè)運(yùn)動(dòng)員的打靶命中率，我們 對(duì)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行測(cè)試，觀測(cè)其10次，發(fā)現(xiàn)除第 三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的 觀測(cè)結(jié)果包含了兩種信息：,(1)

2、 打靶10次命中8次；,(2) 2次不命中分別出現(xiàn)在第3次和第6次 打靶上。,第二種信息對(duì)了解該運(yùn)動(dòng)員的命中率是沒有什么幫助的。,設(shè)我們對(duì)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行n 次觀測(cè)，得到 x1, x2,…, xn， 每個(gè)xj 取值非0即1，命中為1，不命中為0。令 T = x1+…+xn ，,統(tǒng)計(jì)上將這種“樣本加工不損失信息”稱為“充分性”。,T為觀測(cè)到的命中次數(shù)。

3、,統(tǒng)計(jì)量T =T (x1,x2,…,xn) 抽樣分布F?T(t) ，,設(shè)樣本 x=(x1,x2,…,xn) 分布F? (x)，,分析兩個(gè)分布的區(qū)別：,1.抽樣分布 F?T(t) 有可能包含有關(guān)?的信息；2. F?(x) 概括了有關(guān) ? 的一切信息。,在統(tǒng)計(jì)量T 的取值為 t 的情況下樣本 x 的條件分布F?(x|T=t) 已不含 ? 的信息，這正是統(tǒng)計(jì)量具有充分性的含義。,設(shè)總體為二點(diǎn)分布,，,為樣本，令,則在給定,的取值后，

4、對(duì)任意的一組,,,,,,,,,該條件分布與,,無關(guān),,,,,該條件分布與,有關(guān)。,2. 定義,定義,1922年英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher提出了描述總體信息是否被完全提煉的概念—充分統(tǒng)計(jì)量.,例 設(shè)總體為泊松分布,，,為樣本，令,則在給定,的取值后，對(duì)任意的一組,,,,,,,該分布與參數(shù),,無關(guān)。說明T是,,的充分統(tǒng)計(jì)量。,同理：T/n也是,的充分統(tǒng)計(jì)量。,二、因子分解定理,1. 充分統(tǒng)計(jì)量的判別準(zhǔn)則,定理2.3(因子分解定理)(

5、Fisher-Nerman準(zhǔn)則),(1) 連續(xù)型情況,(2) 離散型情況,,,,,說明：,以下將通過幾個(gè)例子來說明判別法則的應(yīng)用,例 根據(jù)因子分解定理證明,解,例,解,例,解,解：,當(dāng) 時(shí)， ，而 時(shí)的概率函數(shù),,,,由充分統(tǒng)計(jì)量的定義知， 不是 的充分統(tǒng)計(jì)量.,例,解,是一一對(duì)應(yīng)的，這說明在正態(tài)總體場(chǎng)合 常用的,進(jìn)一步，我們指出這個(gè)統(tǒng)計(jì)量與,(x, s2 ),,( x ,

6、 s2 ),是充分統(tǒng)計(jì)量。,,例5.5.4 設(shè)x1, x2, …, xn是取自總體U(0,? )的樣本，即總體的密度函數(shù)為,于是樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為,取T =x(n)，并令 g(t ;? )= (1/?)nI?t???, h(x)=1，由因子分解定理知T =x(n) 是? 的充分統(tǒng)計(jì)量。,p(x1;?)…p(xn;?)=,0, 其它,(1/?)n, 0?min?xi??max?xi???,,由于諸xi?0