數(shù)學學年論文畢業(yè)論文正定二次型的判斷及應用

1、1正定二次型的判斷及應用正定二次型的判斷及應用摘要：摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文總結了正定二次型的一些判斷方法及其在證明不等式與極值問題中的應用。關鍵詞：關鍵詞：正定二次型正定陣順序主子式一、正定二次型的判斷一、正定二次型的判斷:定理定理1、實二次型是正定二次型的充要條件)()(21AAAXXxxxfn?????是它的正慣性指數(shù)等于n證明證明設實二次型經(jīng)線形替換X=PY化為標準形:AXXxxxfn??)(21?222

2、2211nnydydydf?????)1(其中由于為可逆矩陣所以不全為零時.21niRdi???pnxxx21?也不全為零反之亦然.nyyy21?如果是正定二次型那么當不全為零即不全)(?fnxxx21?nyyy21?為零時有02222211?????nnydydydf?)2(若有某個比方說則對這組不)1(nidi??.0?nd10121??????nnyyyy?全為零的數(shù)代入式后得這與是正定二次型矛盾因此必有)1(.0??ndff.)

3、21.(0nidi???即的正慣性指數(shù)等于fn如果的正慣性指數(shù)等于則于是當不)(?fn)21(0nidi???nxxx21?全為零即當不全為零時式成立從而是正定型nyyy21?)2(f定理定理2、實二次型是正定二次型的充要條件)()(21AAAXXxxxfn?????是對任何維實的非零列向量必有nX0??AXX3的規(guī)范形為則的正慣性指數(shù)為)(?f2222121)(nnyyyxxxf??????f由定理1可知為正定二次型nf定理定理4、實

4、二次型是正定二次型的充要條件)()(21AAAXXxxxfn?????是矩陣與單位矩陣合同A證明：證明：實二次型是正定二次型則由定)(?)()(21AAAXXxxxfn?????理3可知的規(guī)范形為f2222121)(nnyyyxxxf??????此即存在非退化線形替換其中可逆使得(CYX?C)2222121)()()(nnyyyACYCYCYACYAXXxxxf?????????????所以因此矩陣單位矩陣合同EACC??A矩陣單位矩陣

5、合同則存在可逆矩陣使得，令)(?ACEACC??則CYX?2222121)()()(nnyyyACYCYCYACYAXXxxxf?????????????因此由證明4可知是正定二次型f定理定理5、實二次型是正定二次型的充要條件)()(21AAAXXxxxfn?????是矩陣的主子式全大于零A證明：證明：實二次型是正定二次型以表)(?)()(21AAAXXxxxfn?????kA示的左上角階矩陣下證考慮以為矩陣的二次型Ak)21(0nkA