畢業(yè)論文 ——二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用

1、<p>　　二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用</p><p>　　摘 要：介紹二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，將數(shù)學(xué)與實際生活中的不同問題相聯(lián)系起來。而二次函數(shù)的應(yīng)用過程就是數(shù)學(xué)思想得到充分體現(xiàn)的過程，分類討論、數(shù)形結(jié)合、規(guī)劃與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想都在二次函數(shù)中得到了充分的體現(xiàn)。所以，研究二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用問題同時也是在培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、分析能力和解決問題的能力。</p&

2、gt;<p>　　關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；最優(yōu)化；轉(zhuǎn)化思想</p><p>　　Abstract：Introduces the application of quadratic function in real life, different problems of mathematics and real life together. The application process of qu

3、adratic functions of the mathematics thought process is obtained fully reflected, fully reflected to discuss the classification, combination of number and shape, planning and transformation, function and equation thought

4、 in quadratic function. Therefore,research on the application of quadratic function in real life but also in the ability </p><p>　　Key words：quadratic function;symbolic-graphic combination; optimization;tran

5、sformation of ideas </p><p>　　二次函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)重要的地位，同時也是進行數(shù)學(xué)研究的一個重要的工具，它貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)與學(xué)。從最淺顯的直觀的利用圖象解方程、解不等式、求最值，到利用數(shù)形結(jié)合的思想研究一元二次方程中根的分布問題，再進而用二次函數(shù)來解決現(xiàn)實生活中的實際問題，無不體現(xiàn)二次函數(shù)的重要性和它獨特的魅力。在中考中，二次函數(shù)的實際應(yīng)用同樣是一個考察的重難點，而很多學(xué)生在考

6、試中暴露出一個問題：用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力不足。所以，我們需要進一步研究二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用和對實際生活的影響，從而培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力[1-8]。</p><p>　　一般地，我們把形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，且決定函數(shù)圖象的開口方向，時，開口方向向上，時，開口方向向下；還可以決定開口大小，越大開口就越小，越小開口就越大。而拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線。對稱軸與拋物線唯

7、一的交點為拋物線的頂點，其坐標(biāo)為。一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置，當(dāng)與號時（即），對稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)與異號時（即），對稱軸在軸右側(cè)。拋物線與軸交點個數(shù)由一元二次方程根的個數(shù)決定，即由的符號決定。當(dāng)時，拋物線與軸有2個交點；當(dāng)時，拋物線與軸只有1個交點；當(dāng)時，拋物線與軸沒有交點[1-2]。 </p><p>　　1 在橋梁建筑方面的應(yīng)用</p><p>　　拋物線在橋梁建筑方面

8、有著廣泛的應(yīng)用。在實際生活中，由于各種不同的需要，大多數(shù)的橋梁建筑都運用了二次函數(shù)的性質(zhì)，將其形狀設(shè)計為拋物線的形式。所以，我們在現(xiàn)實生活中能夠找到很多具有拋物線特征的建筑物，如下圖所示：</p><p>　　圖1-1 圖1-2 </p><p>　　同時，在現(xiàn)實生活中也存在許多與建筑、設(shè)計有關(guān)的二次函數(shù)的數(shù)學(xué)問題。下面，我們

9、用以下幾個例子來進行說明。</p><p>　　例1.1[3] 一座單行隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長為，寬為，隧道最高點位于的中央且距地面，建立如圖1-3所示的坐標(biāo)系。</p><p>　　（1）求拋物線的解析式；</p><p>　?。?）一輛貨車高，寬，能否從該隧道內(nèi)通過，為什么？</p><p>　?。?）如果隧道內(nèi)設(shè)雙

10、行道如圖1-4所示，那么這輛貨車是否可以順利通過，為什么？</p><p>　　圖1-3 圖1-4</p><p>　　解 （1）由題意可知拋物線經(jīng)過點，，。</p><p>　　設(shè)拋物線的方程為，將、、三點的坐標(biāo)代入拋物線方程。解得拋物線方程為：</p><p>

11、<b>　　.</b></p><p><b>　?。?）令，則有</b></p><p><b>　　,　　</b></p><p><b>　　解得</b></p><p><b>　　, </b></p><

12、p><b>　　而</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以貨車可以通過?！　?lt;/p><p>　　（3）由（2）可知,　　</p><p>　　所以貨車可以通過。　　</p><p>　　例1.2[3] 有一座拋物線形拱橋，正常水位時

13、，橋下水面寬度為，拱頂距離水面。</p><p>　?。?）在如圖1-5所示的直角坐標(biāo)系中，求出該拋物線的表達式；</p><p>　?。?）在正常水位的基礎(chǔ)上，當(dāng)水位上升時，橋下水面的寬度為，求出將表示為的函數(shù)表達式；</p><p>　?。?）設(shè)正常水位時橋下的水深為，為保證過往船只順利航行，橋下水面寬度不得小于，求水深超過多少米時就會影響過往船只在橋下的順利航

14、行。</p><p><b>　　圖1-5 </b></p><p>　　解 （1）設(shè)拋物線的解析式為，且過點，</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　故.</b

15、></p><p>　?。?）設(shè)水位上升時，水面與拋物線交于點，</p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　所以.</b></p><p>　?。?）當(dāng)時，有 解得，<

16、/p><p><b>　　所以. </b></p><p>　　故當(dāng)水深超過時會影響過往船只在橋下順利航行。</p><p>　　在生活中，除了橋梁的建設(shè)上運用了二次函數(shù)的相關(guān)知識，還有大量其他的建筑如花壇、噴水池、隧道等等都有涉及到二次函數(shù)的地方。所以，由此可以看出二次函數(shù)是真的融入了我們的生活中[5-6]。</p><p&

17、gt;　　2 在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用</p><p>　　二次函數(shù)在經(jīng)濟生活中的應(yīng)用，主要分為投資策略、銷售定價、貨物存放、消費住宿等不同方面，而這幾個不同方面的問題有一個共通點，那就是利潤的最大化問題。不論是投資還是銷售，利潤問題都是我們最關(guān)注的問題。針對不同類型的問題，從保證最大利潤為入手點，建立函數(shù)關(guān)系，運用二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問題[4-7]。</p><p>　　2.1 投資策

18、略問題</p><p>　　在經(jīng)濟投資問題中，不同的投資方案會帶來不同的風(fēng)險，同時獲得的利益也會相對的有所差別。那么針對不同的投資方案，選擇正確的營銷策略以求獲得經(jīng)營的最大利潤就是我們必須要解決的問題。而在現(xiàn)實生活中，此類問題是層出不窮，如下列例題所示。</p><p>　　例2.1[3-5] 某服裝經(jīng)銷商甲，庫存有進價每套元的品牌服裝套，正常銷售時每套元，每月可買出套，一年內(nèi)剛好賣完，

19、現(xiàn)在市場上流行品牌服裝，此品牌服裝進價每套元，售出價每套元，每月可買出套（兩套服裝的市場行情互不影響）。目前有一可進品牌的機會，若這一機會錯過，估計一年內(nèi)進不到這種服裝，可是，經(jīng)銷商手頭無流動資金可用，只有低價轉(zhuǎn)讓品牌服裝，經(jīng)與經(jīng)銷商乙協(xié)商，達成協(xié)議，轉(zhuǎn)讓價格（元/套）與轉(zhuǎn)讓數(shù)量（套）有如下關(guān)系： </p><p>　　表2-1轉(zhuǎn)讓價格與轉(zhuǎn)讓數(shù)量關(guān)系</p><p>　　方案1：不轉(zhuǎn)讓品牌

20、服裝，也不經(jīng)銷品牌服裝； 　　方案2：全部轉(zhuǎn)讓品牌服裝，用轉(zhuǎn)讓來的資金購品牌服裝后，經(jīng)銷品牌服裝； 　　方案3：部份轉(zhuǎn)讓品牌服裝，用轉(zhuǎn)讓來的資金購品牌服裝后，經(jīng)銷品牌服裝，同時經(jīng)銷品牌服裝。 問：　?、俳?jīng)銷商甲選擇方案1與方案2一年內(nèi)分別獲得利潤各多少元？ 　?、诮?jīng)銷商甲選擇哪種方案可以使自己一年內(nèi)獲得最大利潤？若選用方案3，請問他轉(zhuǎn)讓給經(jīng)銷商乙的品牌服裝的數(shù)量是多少（精確到百套）？此時他在一年內(nèi)共得利潤多少元？ 　　解 經(jīng)

21、銷商甲對品牌服裝的進貨成本是</p><p>　?。ㄔ? ①若選方案1，則獲利</p><p>　?。ㄔ? 若選方案2，得轉(zhuǎn)讓款元，可進購品牌服裝（套），一年內(nèi)剛好賣空可獲利：</p><p><b>　?。ㄔ?。</b></p><p>　?、谠O(shè)轉(zhuǎn)讓品牌服裝套，則轉(zhuǎn)讓價格是每套 元，可進購品牌服裝 套，

22、全部售出品牌服裝后得款 元，此時還剩品牌服裝套，全部售出品牌服裝后得款元，共獲利，故當(dāng)套時，可的最大利潤元。</p><p>　　投資利潤最大化的問題在生活中隨處可見，如購買股票、基金，商品銷售、策劃或者是公司生產(chǎn)力的變動、設(shè)備的更換等等一系列的問題都涉及經(jīng)濟投資上的最大利潤問題。而經(jīng)營者為了獲得最大利潤，產(chǎn)品的銷售定價也是必須思考的問題[7]。</p><p>　　2.2 銷售定價問題

23、</p><p>　　在產(chǎn)品銷售過程中，產(chǎn)品的單價影響銷售量，從而影響著銷售所獲得的利潤。而經(jīng)營者為了獲得最大利潤，產(chǎn)品的銷售定價和銷售量、產(chǎn)品成本等不同因素之間的影響是我們必須要探究、解決的。因此，此類問題的解決我們同樣需要運用二次函數(shù)的相關(guān)知識。</p><p>　　例2.2[3] 為了落實國務(wù)院副總理李克強同志到恩施考察時的指示精神，最近，州委州政府又出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，

24、使農(nóng)民收入大幅度增加。某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為元/千克。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量(千克)與銷售價(元/千克)有如下關(guān)系：。設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為(元)。 </p><p>　　(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式。 </p><p>　　(2)當(dāng)銷售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？</p><p>

25、　　(3)如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于元/千克，該農(nóng)戶想要每天獲得元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為多少元？</p><p>　　分析 利潤=（單價-成本）*銷售數(shù)量，這是問題解答的關(guān)鍵。</p><p>　　解 (1)與的函數(shù)關(guān)系式為：</p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以，與的函數(shù)

26、關(guān)系式為：</p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　由（1）可知：</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因為，</b></p><p>　　所以函數(shù)有最

27、大值， </p><p>　　當(dāng)時，函數(shù)有最大值，最大值為， </p><p>　　所以，當(dāng)時，有最大值，</p><p>　　因此，當(dāng)銷售價定為元/千克時,每天可獲最大銷售利潤元。</p><p><b>　　當(dāng)時，可得方程</b></p><p><b>　　，&

28、#160;</b></p><p>　　解這個方程，得，        </p><p>　　根據(jù)題意，不合題意,應(yīng)舍去， </p><p>　　所以，當(dāng)銷售價定為元/千克時，該農(nóng)戶每天可獲得銷售利潤元。</p><p>　　銷售定價問題的根

29、本就是保證利潤的最大化，利潤=（單價-成本）*銷售數(shù)量，而產(chǎn)品的成本是固定，所以單價越大，利潤越高；銷售量越大，利潤也越高。而當(dāng)銷售單價越來越大時，銷售數(shù)量往往逐漸減少，所以我們需要在這個變化過程中找到使得利潤最大化的最優(yōu)銷售單價。</p><p>　　2.3 貨物存放問題</p><p>　　產(chǎn)品銷售獲得利潤除了扣除產(chǎn)品本身的成本外，還包括各種各樣的外在消費，比如產(chǎn)品銷售期間貨物的存放

30、、運輸和貨物本身的損壞費用。而對于不能長期存放的產(chǎn)品的銷售利潤就受到貨物存放時間的限制。若此類產(chǎn)品在未來的某一段時間內(nèi)的市場價格將上升，產(chǎn)品存放一段時間會支出一定的費用，且產(chǎn)品的存放時間影響著產(chǎn)品的銷售數(shù)量，而產(chǎn)品的銷售數(shù)量又制約著產(chǎn)品的銷售定價。所以對于這一類的產(chǎn)品銷售，要保證銷售利潤的最大化，就必須探討貨物存放時間和銷售數(shù)量和銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系，從而利用二次函數(shù)解決實際問題[5-7]。</p><p>　

31、　例2.3[3] 恩施州綠色、富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國際市場上頗具競爭力，其中香菇遠銷日本和韓國等地。上市時，外商李經(jīng)理按市場價格元/千克在我州收購了千克香菇存放入冷庫中。據(jù)預(yù)測，香菇的市場價格每天每千克將上漲元，但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費用合計元，而且香菇在冷庫中最多保存天，同時，平均每天有千克的香菇損壞不能出售。 </p><p>　?。?）若存放天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇

32、的銷售總金額為元，試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式。 </p><p>　?。?）李經(jīng)理想獲得利潤元，需將這批香菇存放多少天后出售？（利潤＝銷售總金額－收購成本－各種費用） </p><p>　?。?）將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤？最大利潤是多少？ </p><p>　　解 （1）由題意得與之間的函數(shù)關(guān)系式為：

33、 （，且為整數(shù)）. （2）由題意得：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　解方程得：</b></p><p>　?。ú缓项}意，舍去），</p><p>　　所以李經(jīng)理想獲得利潤元需將這批香菇存放天后出售。</p&

34、gt;<p>　　設(shè)最大利潤為，由題意得： </p><p>　　， </p><p><b>　　所以當(dāng)時，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　而</b></p><p>

35、;<b>　　，</b></p><p>　　所以存放天后出售這批香菇可獲得最大利潤元。</p><p>　　2.4 消費住宿問題</p><p>　　在經(jīng)濟生活中，除了投資和銷售外，還有消費、住宿等問題也在不同程度上運用了二次函數(shù)的性質(zhì)。對于賓館的住宿問題，客人訂購的房間數(shù)受房價單價的影響，而房間訂購的數(shù)量又影響著賓館的銷售盈利。</

36、p><p>　　例2.4[2] 某賓館客房部有個房間供游客居住，當(dāng)每個房間的定價為每天元時，房間可以住滿。當(dāng)每個房間每天的定價每增加元時，就會有一個房間空閑。對有游客入住的房間，賓館需對每個房間每天支出元的各種費用。設(shè)每個房間每天的定價增加元。求： </p><p>　　（1）房間每天的入住量(間）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式。  </p><p&

37、gt;　?。?）該賓館每天的房間收費（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式。  </p><p>　?。?）該賓館客房部每天的利潤（元）關(guān)于（元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每個房間的定價為每天多少元時，有最大值？最大值是多少？</p><p>　　分析 因為每個房間每天的定價每增加元時，就會有一個房間空閑， 現(xiàn)在增加元，折合個元，所以，有個房間空閑； 空房間數(shù)+入住房

38、間數(shù)，這樣第一問就解決了；房間收費數(shù)額應(yīng)該等于房間的定價乘以房間的數(shù)量，這樣第二問的等量關(guān)系也找到了；在解答第三問時，關(guān)鍵是理解利潤的意義，利潤=每天的房間收費數(shù)-每個房間每天支出的各種費用。 </p><p><b>　　解 （1）.</b></p><p><b>　?。?）.</b></p><p>&l

39、t;b>　?。?），</b></p><p>　　所以，當(dāng)時，有最大值，此時，</p><p>　　，所以當(dāng)每個房間的定價為每天元時，有最大值，且最大值為元。 </p><p>　　3 在日常生活中的應(yīng)用</p><p>　　二次函數(shù)除了在建筑設(shè)計、經(jīng)濟生活中的應(yīng)用外，在日常生活的應(yīng)用也是十分廣泛的。我們在日常生活中所

40、參加的各種體育運動如籃球、排球、羽毛球等，其球體的運動路徑就是一個拋物線。在運動過程中，對于運動員的成績和球體命中的準(zhǔn)確性的估計都離不開二次函數(shù)[5-8]。</p><p>　　例3.1[3] 在體育測試時，初三的一名高個子男同學(xué)推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過的路線是某個二次函數(shù)圖像的一部分，如圖所示，如果這個男同學(xué)的出手處點的坐標(biāo)，鉛球路線的最高處點的坐標(biāo)為。　　(1)求這個二次函數(shù)的解析式； 　　(2)該男同學(xué)

41、把鉛球推出去多遠？(精確到米， )　</p><p><b>　　圖3-1</b></p><p>　　解 (1) 設(shè)二次函數(shù)的解析式為 ，頂點坐標(biāo)為，</p><p>　　所以，而點在拋物線上， 所以</p><p><b>　　， </b><

42、;/p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.　 </b></p><p>　　當(dāng)時，， </p><p><b>　　解得</b></p><p>　　(不合題意，舍去)， </p>

43、<p><b>　　所以（米）。 </b></p><p>　　4 在政策補貼上的應(yīng)用</p><p>　　對于社會上城鄉(xiāng)居民的生活補助，對城市規(guī)劃的建設(shè)，對公共設(shè)施的建設(shè)要求等都有涉及到二次函數(shù)的應(yīng)用。下面就以其中一個方面進行舉例說明。</p><p>　　例4.1[3] 某市種植某種綠色蔬菜，全部用來出口。為了擴大出口規(guī)模，該

44、市決定對這種蔬菜的種植實行政府補貼，規(guī)定每種植一畝這種蔬菜一次性補貼菜農(nóng)若干元。經(jīng)調(diào)查，種植畝數(shù)（畝）與補貼數(shù)額（元）之間大致滿足如圖(1)所示的一次函數(shù)關(guān)系。隨著補貼數(shù)額的不斷增大，出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收益（元）會相應(yīng)降低，且與之間也大致滿足如圖(2)所示的一次函數(shù)關(guān)系。</p><p>　　(1) (2)</

45、p><p><b>　　圖4-1</b></p><p>　　（1）在政府未出臺補貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？</p><p>　?。?）分別求出政府補貼政策實施后，種植畝數(shù)和每畝蔬菜的收益與政府補貼數(shù)額之間的函數(shù)關(guān)系式；</p><p>　?。?）要使全市這種蔬菜的總收益（元）最大，政府應(yīng)將每畝補貼數(shù)額定為

46、多少？并求出總收益的最大值。</p><p>　　分析 惠農(nóng)政策是國家的基本政策，能進入中考，是對國家政策的正面宣傳。</p><p>　　解 （1）政府沒出臺補貼政策前，這種蔬菜的收益額為：</p><p><b>　?。ㄔ?。</b></p><p>　　由題意可設(shè)與的函數(shù)關(guān)系為</p><p

47、><b>　　，</b></p><p><b>　　將代入上式得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　，</b></p><p

48、>　　所以種植畝數(shù)與政府補貼的函數(shù)關(guān)系為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　同理可得每畝蔬菜的收益與政府補貼的函數(shù)關(guān)系為. </p><p><b>　　（3）由題意，得：</b></p><p>　　所以，當(dāng)，即政府每畝補貼元時，全市的總收益額最大，最大為元。<

49、;/p><p><b>　　5 結(jié)束語</b></p><p>　　二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用是非常廣泛的，這里也就不一一舉例了。但是通過上述幾個具有代表性的示例，我們能夠發(fā)現(xiàn)只要靈活應(yīng)用所學(xué)的二次函數(shù)的相關(guān)知識，在解決實際生活當(dāng)中的問題時，能夠達到事半功倍的效果。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p

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