1.3.1空間幾何體的表面積與體積

1、1.3.2球的表面積和體積,球,人類的家－－地球,人類未來的家－－火星,探索火星的航天飛船,如果用油漆去涂一個乒乓球和一個籃球，且涂的油漆厚度相同，問哪一個球所用的油漆多？為什么？,問題一,實際問題,一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球，球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則哪一個球充入的氣體較多？為什么？,問題二,實際問題,怎樣求球的表面積和體積？,提出問題,球既沒有底面，也無法象柱、錐、臺體一樣展成平面圖形，怎樣求球的表面積和

2、體積呢？,,實驗方法,,,,實驗：排液法測小球的體積,實驗方法,,,,實驗：排液法測小球的體積,實驗方法,,,,,,,小球的體積等于它排開液體的體積,曹沖稱象,假設(shè)將圓n等分，則,,,,,,,,,,,,A2,A1,An,,,,,,,,,,,,,,O,A3,回顧圓面積公式的推導(dǎo),溫故知新,割 圓 術(shù),早在公元三世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術(shù)”．他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊

3、數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌小”．這樣重復(fù)下去，就達(dá)到了“割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無所失矣”．這是世界上最早的“極限”思想．,極限思想,已知球的半徑為R,用V表示球的體積.,球的體積,,,O,R,,,,O,,,A,,球的體積,,球的體積,,球的體積,在球的體積公式的推導(dǎo)過程中，使用了“分割、求近似值、再將近似值轉(zhuǎn)化為球的體積”的方法：,球的體積,即先將半徑 n 等分；再求出每一部分體積的近似值，

4、并將這些近似值相加，得出半球的近似體積；當(dāng) n 無限變大時，就可得到半球的體積．,球的體積,例4 某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3），每個鋼球重145kg，并且外徑等于50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實心的還是空心的．如果是實心的，請你計算出它的內(nèi)徑（π取3.14，結(jié)果精確到1cm）．,解：由于外徑為50cm的鋼球的質(zhì)量為：,街心花園中鋼球的質(zhì)量為145000g，而145000<517054，所以鋼球是空心的．

5、,球的表面積,例4 某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3），每個鋼球重145kg，并且外徑等于50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實心的還是空心的．如果是實心的，請你計算出它的內(nèi)徑（π取3.14，結(jié)果精確到1cm）．,解：,設(shè)球的內(nèi)徑是2xcm，那么球的質(zhì)量為：,解得：,答：鋼球是空心的．其內(nèi)徑約為45cm．,球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢?,回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,

6、得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式．,球的表面積,第一步：分割,球面被分割成n個網(wǎng)格，表面積分別為：,則球的表面積：,則球的體積為：,球的表面積,第二步：求近似和,,由第一步得：,球的表面積,第三步：化為準(zhǔn)確和,如果網(wǎng)格分的越細(xì),則: “小錐體”就越接近小棱錐,,,球的表面積,例5 如圖表示一個用鮮花作成的花柱，它的下面是一個直徑為1m、高為3m的圓柱形物體，上面是一個半球形體．如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝

7、飾這個花柱大約需要多少朵鮮花（π取3.1)？,解：圓柱形物體的側(cè)面面積,半球形物體的表面積為,所以,答：裝飾這個花柱大約需要1635朵鮮花．,球的表面積,(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼?倍.(2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼?倍.(3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是 .(4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是 .,練習(xí),隨堂練習(xí),影響球的表面積及體積