數(shù)值分析4-計算方法4插值法

1、第四章 插值法定積分𝐼= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 dx,當(dāng)被積函數(shù)𝑓 𝑥 比較復(fù)雜時，其原函數(shù)一般不能用初等函數(shù)表示，可用一個簡單函數(shù)𝑃 𝑥 近似替代𝑓 𝑥 ，從而得到𝐼的近似值。實際工作遇到許多離散數(shù)據(jù)，不便于進行深入的理論分析，為此需要構(gòu)

2、造一個吻合離散數(shù)據(jù)的簡單函數(shù)𝑃 𝑥 。,§4.1 多項式插值問題的一般提法 設(shè)𝑓 𝑥 在 𝑎,𝑏 上有定義，已知 𝑓 𝑥 𝑖 𝑖= 𝑝 0 , 𝑝 1 ,?, 𝑝

3、19899; 𝑓 𝐾 𝑗 𝑥 𝑗 𝑗= 𝑞 0 , 𝑞 1 ,?, 𝑞 𝑚 求作一次數(shù)不超過𝑚+𝑛+1的代數(shù)多項式 𝑃 𝑥 = 𝑎 0 +

4、19886; 1 𝑥+?+ 𝑎 𝑛+𝑚+1 𝑥 𝑛+𝑚+1 使 𝑃 𝑥 𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑖 𝑖= 𝑝 0 , 𝑝 1 ,?,

5、 𝑝 𝑛 𝑃 𝐾 𝑗 𝑥 𝑗 = 𝑓 𝐾 𝑗 𝑥 𝑗 𝑗= 𝑞 0 , 𝑞 1 ,?, 𝑞 𝑚,稱𝑃

6、 𝑥 為𝑓 𝑥 的插值函數(shù) 稱 𝑎,𝑏 為插值區(qū)間 稱 𝑥 𝑖 𝑖= 𝑝 0 , 𝑝 1 ,?, 𝑝 𝑛 ， 𝑥 𝑗 𝑗= 𝑞 0 , 𝑞 1 ,?, &#

7、119902; 𝑚 為插值節(jié)點例4.1 已知函數(shù)𝑓 𝑥 在 𝑥 0 處的函數(shù)值𝑓( 𝑥 0 )和 𝑥 0 處的一至階𝑛導(dǎo)數(shù)值 𝑓 𝐾 ( 𝑥 0 ) 𝐾=1,2,?,𝑛 ，試構(gòu)造一插值多項式𝑃

8、𝑥 。解：設(shè)𝑃 𝑥 = 𝑎 0 + 𝑎 1 (𝑥 - 𝑥 0 )+?+ 𝑎 𝑛 𝑥 ? 𝑥 0 𝑛 令 𝑃 𝑥 0 = 𝑓( w

9、909; 0 ),𝑃 ( 𝑥 0 ) = 𝑎 1 = 𝑓 ( 𝑥 0 ) 𝑃 2 ( 𝑥 0 ) = 2! 𝑎 2 =𝑓 2 ( 𝑥 0 ) ? 𝑃 𝑛

10、; ( 𝑥 0 ) = 𝑛! 𝑎 𝑛 =𝑓 𝑛 ( 𝑥 0 )于是 𝑃 𝑥 =𝑓 𝑥 0 + 𝑓 𝑥 𝑥? 𝑥 0 +?+ 𝑓 𝑛

11、𝑥 0 𝑛! 𝑥? 𝑥 0 𝑛,§4.2 Lagrange多項式插值1、Lagrange插值及其唯一性 Lagrange插值多項式 設(shè)𝑓 𝑥 在 𝑎,𝑏 上有定義，已知節(jié)點 𝑎=𝑥 0 < 𝑥 1 <

12、;?< 𝑥 𝑛 =𝑏 對應(yīng)的函數(shù)值 𝑦 0 , 𝑦 1 ,?, 𝑦 𝑛 求一次數(shù)不超過𝑛的插值多項式 𝐿 𝑛 𝑥 ，使 𝐿 𝑛 𝑥 𝑖 = 𝑦

13、19894; 𝑖=1,2,?,𝑛 稱 𝐿 𝑛 𝑥 為Lagrange插值多項式 Lagrange插值多項式的唯一性,依據(jù)Lagrange插值多項式所滿足的條件，得系數(shù)矩陣為,𝑉 𝑛 𝑥 0 , 𝑥 1 ,?, 𝑥 𝑛 為Van

14、dermonde行列式，如果 𝑥 𝑖 ≠ 𝑥 𝑗 𝑖≠𝑗 則 𝑉 𝑛 𝑥 0 , 𝑥 1 ,?, 𝑥 𝑛 ≠0故系數(shù) 𝑎 0 , 𝑎 1 ,?,

15、19886; 𝑛 是唯一的，從而Lagrange插值多項式唯一。2、Lagrange插值多項式的基函數(shù)構(gòu)造法兩個插值節(jié)點（𝑛=1） 已知節(jié)點 𝑥 𝑘 ， 𝑥 𝑘+1 的函數(shù)值𝑓 𝑥 𝑘 ，𝑓 𝑥 𝑘+1 ，構(gòu)造一次Lagr

16、ange插值多項式 𝐿 1 𝑥 ，使,𝐿 1 𝑥 𝑘 =𝑓 𝑥 𝑘 = 𝑦 𝑘 𝐿 1 𝑥 𝑘+1 =𝑓 𝑥 𝑘+1 = 𝑦

17、 𝑘+1 顯然 𝐿 1 𝑥 = 𝑥 𝑘 + 𝑦 𝑘+1 ? 𝑦 𝑘 𝑥 𝑘+1 ? 𝑥 𝑘 𝑥? 𝑥 𝑘 = 𝑥? &#

18、119909; 𝑘+1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘+1 𝑦 𝑘 + 𝑥? 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘+1 ? 𝑥 𝑘 𝑦 𝑘+1 記 𝑙 𝑘 &

19、#119909; = 𝑥? 𝑥 𝑘+1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘+1 𝑙 𝑘+1 𝑥 = 𝑥? 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘+1 ? 𝑥 𝑘 稱 𝑙

20、; 𝑘 𝑥 與 𝑙 𝑘+1 𝑥 為一次插值基函數(shù)，于是 𝐿 1 𝑥 = 𝑙 𝑘 𝑥 𝑦 𝑘 + 𝑙 𝑘+1 𝑥 𝑦 𝑘+1,三個插值節(jié)點（&

21、#119899;=2） 已知節(jié)點 𝑥 𝑘?1 ， 𝑥 𝑘 ， 𝑥 𝑘+1 的函數(shù)值 𝑓 𝑥 𝑘?1 ， 𝑓 𝑥 𝑘 ， 𝑓 𝑥 𝑘+1 構(gòu)造二次Lagrang

22、e插值多項式 𝐿 2 𝑥 ，使 𝐿 2 𝑥 𝑘?1 =𝑓 𝑥 𝑘?1 = 𝑦 𝑘?1 𝐿 2 𝑥 𝑘 =𝑓 𝑥 𝑘 =

23、19910; 𝑘 𝐿 2 𝑥 𝑘+1 =𝑓 𝑥 𝑘+1 = 𝑦 𝑘+1 依照基函數(shù)構(gòu)造方式，有 𝐿 2 𝑥 = 𝑙 𝑘?1 𝑥 𝑦 𝑘?

24、1 + 𝑙 𝑘 𝑥 𝑦 𝑘 + 𝑙 𝑘+1 𝑥 𝑦 𝑘+1,稱 𝑙 𝑘?1 𝑥 ，𝑙 𝑘 𝑥 ，𝑙 𝑘+1 𝑥 為二次

25、插值基函數(shù)，滿足 𝑙 𝑘?1 ( 𝑥 𝑘?1 )=1 ，𝑙 𝑘?1 𝑥 𝑘 =0 ，𝑙 𝑘?1 𝑥 𝑘+1 =0 𝑙 𝑘 ( 𝑥 𝑘?1 )=0 ，w

26、897; 𝑘 𝑥 𝑘 =1 ，𝑙 𝑘 𝑥 𝑘+1 =0 𝑙 𝑘+1 ( 𝑥 𝑘?1 )= 0 ，𝑙 𝑘+1 𝑥 𝑘 =0 ，𝑙 𝑘+1 &#

27、119909; 𝑘+1 =1由此 𝑙 𝑘 𝑥 =𝐶 𝑥? 𝑥 𝑘?1 𝑥? 𝑥 𝑘+1 再由 𝑙 𝑘 ( 𝑥 𝑘 )=1求得

28、19862;= 1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘?1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘+1,例4.2 利用100，121的開方求 115 的近似值。解： 115 =10.723805… 𝑥 0 =100和 𝑥 1 =121 的開方為 𝑦 0 =10及

29、 𝑦 1 =11 一次插值多項式 𝐿 1 𝑥 = 𝑥? 𝑥 1 𝑥 0 ? 𝑥 1 𝑦 0 + 𝑥? 𝑥 0 𝑥 1 ? 𝑥 0 𝑦 1 115 ≈ 𝐿 1 115 = 11

30、5?121 100?121 10+ 115?100 121?100 11 =10.71428具有三位有效數(shù)字。,如果增加節(jié)點 𝑥 2 =144 𝑦 2 =12 ，構(gòu)造二次插值多項式，得 115 ≈ 𝐿 2 115 =10.7228具有四位有效數(shù)字。一般情形（任意個插值節(jié)點） 已知函數(shù)𝑓 𝑥 在

31、節(jié)點 𝑥 0 , 𝑥 1 , ?,𝑥 𝑛 的函數(shù)值 𝑦 0 , 𝑦 1 , ?,𝑦 𝑛 依基函數(shù)構(gòu)造方法，得下述𝑛次插值多項式 𝐿 𝑛 𝑥 = 𝑙 0 𝑥 𝑦

32、 0 + 𝑙 1 𝑥 𝑦 1 +?+ 𝑙 𝑛 𝑥 𝑦 𝑛,其中 𝑙 𝑖 ( 𝑥 𝑗 )= 1 , 𝑥 𝑗 = 𝑥 𝑖 0 , 𝑥 w

33、895; ≠ 𝑥 𝑖 𝑖=0,1,2,?,𝑛 故有 𝑙 𝑖 𝑥 = 𝑥? 𝑥 0 𝑥? 𝑥 1 ? 𝑥? 𝑥 𝑖?1 𝑥? 𝑥 𝑖+1

34、 ? 𝑥? 𝑥 𝑛 𝑥 𝑖 ? 𝑥 0 𝑥 𝑖 ? 𝑥 1 ?( 𝑥 𝑖 ? 𝑥 𝑖?1 ) 𝑥 𝑖 ? 𝑥 𝑖+1 ? 𝑥 &

35、#119894; ? 𝑥 𝑛 3、Lagrange插值多項式的插值余項 𝐿 𝑛 𝑥 插值多項式,𝑓 𝑥 被插值函數(shù)，記 𝑅 𝑛 𝑥 =𝑓 𝑥 ? 𝐿 𝑛 𝑥

36、其中 𝑅 𝑛 ( 𝑥 𝑖 )=0， 𝑖=0,1,2,?,𝑛,令 𝑅 𝑛 𝑥 =𝑘 𝑥 𝑥? 𝑥 0 𝑥? 𝑥 1 ? 𝑥? 𝑥 

37、9899; =𝑘 𝑥 𝜔 𝑛+1 𝑥 構(gòu)造輔助函數(shù) 𝜑 𝑡 =𝑓 𝑡 ? 𝐿 𝑛 𝑡 ?𝑘(𝑥) 𝜔 𝑛+1 (𝑡

38、)其中𝑥為插值區(qū)間 𝑎,𝑏 上某一固定點。 𝜑 𝑡 =0，𝑡= 𝑥 0 , 𝑥 1 ,?, 𝑥 𝑛 ,𝑥𝜑 𝑡 在 𝑎,𝑏 上有𝑛+2個零點，根據(jù)Rolle定理，

39、𝜑 𝑡 在𝜑 𝑡 的兩個零點之間至少有一個零點，故 𝜑 𝑡 在至少 𝑎,𝑏 上至少𝑛+1有個零點。,以此類推， 𝜑 𝑛+1 𝑡 在 𝑎,𝑏 上至少有一個零點𝜃即有

40、𝜑 𝑛+1 (𝜃)=0亦即 𝜑 𝑛+1 (𝜃)= 𝑓 (𝑛+1) 𝜃 ? 𝑛+1 !𝑘 𝑥 =0于是 𝑘 𝑥 = 𝑓 (𝑛+1) 

41、0579; 𝑛+1 ! 記𝑀= max 𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑓 (𝑛+1) 𝑥 ，則有 𝑅 𝑛 𝑥 ≤ 𝑀 𝑛+1 ! 𝜔 𝑛+1 𝑥,注意：插

42、值法不適合做外插例4.3 設(shè)𝑓 𝑥 = 𝑒 ?𝑥 在 𝑥 0 =0.10， 𝑥 1 =0.15， 𝑥 2 =0.25， 𝑥 3 =0.30上的值分別為 0.904837 , 0.860708 , 0.778801 , 0.740818試構(gòu)造三次Lagrange插值多項式，求 Ү

43、90; ?𝑥 在 𝑥=0.20的近似值并估計誤差。解： 𝑒 ?0.20 =0.8187307… 由 𝐿 3 𝑥 = 𝑖=0 3 𝑙 𝑖 𝑥 𝑦 𝑖 ，得 𝐿 3 0.20 =0.8

44、18730,而 𝑅 3 0.20 ≤ 𝑀 4! 𝜔 4 0.20 其中 𝑀= max 0.1≤𝑥≤0.3 𝑓 4 𝑥 ≤0.91于是 𝑅 3 0.20 <0.95× 10 ?6,例4.4 設(shè) 𝑥 Ү

45、95; 為互異插值節(jié)點 𝑗=0,1,?,𝑛 證明: 𝑗=0 𝑛 𝑥 𝑗 𝑘 𝑙 𝑗 (𝑥)≡ 𝑥 𝑘 𝑘=0,1,?,𝑛 證明：插值余項 𝑅 𝑛 

46、9909; = 𝑓 (𝑛+1) 𝜃 𝑛+1 ! 𝜔 𝑛+1 𝑥 此時𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑘 ,0≤𝑘≤𝑛于是 𝑓 𝑛+1 𝑥 =0所以 w

47、877; 𝑛 𝑥 ≡0故有 𝑗=0 𝑛 𝑥 𝑗 𝑘 𝑙 𝑗 (𝑥)≡ 𝑥 𝑘 𝑘=0,1,?,𝑛,§4.3 分段插值例4.5 考察函數(shù) 𝑓 

48、9909; = 1 1+ 𝑥 2 ，?5≤𝑥≤5將區(qū)間 ?5，5 分為5和10等分。,,由此可見，次數(shù)越高的插值多項式逼近被插值函數(shù)的效果比次數(shù)低的插值多項式更差。這種現(xiàn)象稱為Runge現(xiàn)象。1、分段線性插值 已知函數(shù)𝑓 𝑥 在節(jié)點 𝑥 0 , 𝑥 1 , ?,𝑥 𝑛 的函數(shù)值

49、 𝑦 0 , 𝑦 1 , ?,𝑦 𝑛 記 𝑆 1 𝑥 為分段線性插值，滿足 𝑆 1 𝑥 在 𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑘+1 𝑘=0,1,?,𝑛?1 上是線性函數(shù) 𝑆 1

50、 𝑥 𝑘 = 𝑦 𝑘 𝑘=0,1,?,𝑛,𝑆 1 𝑥 在 𝑥 0 , 𝑥 𝑛 上為連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間 𝑥 𝑘?1 , 𝑥 𝑘 上，有 𝑆 1 

51、9909; = 𝑥? 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘?1 ? 𝑥 𝑘 𝑦 𝑘?1 + 𝑥? 𝑥 𝑘?1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘?1 𝑦 𝑘

52、 = 𝑙 𝑘?1 𝑥 𝑦 𝑘?1 + 𝑙 𝑘 𝑥 𝑦 𝑘 在區(qū)間 𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑘+1 上，有 𝑆 1 𝑥 = 𝑥? ү

53、09; 𝑘+1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘+1 𝑦 𝑘 + 𝑥? 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘+1 ? 𝑥 𝑘 𝑦 𝑘+1 = 𝑙 𝑘

54、 𝑥 𝑦 𝑘 + 𝑙 𝑘+1 𝑥 𝑦 𝑘+1,分段一次插值基函數(shù)表達式 𝑙 𝑘 𝑥 = 𝑥? 𝑥 𝑘?1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘?1

55、 , 𝑥 𝑘?1 ≤𝑥≤ 𝑥 𝑘 𝑘≠0 𝑥? 𝑥 𝑘+1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘+1 , 𝑥 𝑘 ≤𝑥≤ 𝑥 𝑘+1 w

56、896;≠𝑛 0 , 𝑥∈ 𝑥 0 , 𝑥 𝑛 ,𝑥 ∈ 𝑥 𝑘?1 , 𝑥 𝑘+1 于是 𝑆 1 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝑙 𝑘 w

57、909; 𝑦 𝑘 2、分段三次Hermite插值 已知𝑓 𝑥 在節(jié)點 𝑥 0 , 𝑥 1 , ?,𝑥 𝑛 的函數(shù)值 𝑦 0 , 𝑦 1 , ?,𝑦 𝑛,以及一階導(dǎo)數(shù)值

58、 𝑦 0 , 𝑦 1 , ?, 𝑦 𝑛 記 𝑆 3 𝑥 為分段Hermite插值，滿足 𝑆 3 𝑥 在 𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑘+1 𝑘=0,1,?,𝑛?1 上是3次多項式 𝑆

59、 3 𝑥 𝑘 = 𝑦 𝑘 ， 𝑆 3 𝑥 𝑘 = 𝑦 𝑘 𝑘=0,1,?,𝑛 𝑆 3 𝑥 在 𝑥 0 , 𝑥 𝑛 上為一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)考察 &#

60、119909; 𝑘 , 𝑥 𝑘+1 ,設(shè) 𝑆 3 𝑥 = 𝛼 𝑘 𝑥 𝑦 𝑘 + 𝛼 𝑘+1 𝑥 𝑦 𝑘+1 + 𝛽 Ү

61、96; 𝑥 𝑦 𝑘 + 𝛽 𝑘+1 𝑥 𝑦 𝑘 +1,基函數(shù)滿足下列關(guān)系式 𝛼 𝑘 𝑥 𝑘 =1 , 𝛼 𝑘+1 𝑥 ⻕

62、6; =0, 𝛽 𝑘 𝑥 𝑘 = 0 , 𝛽 𝑘+1 𝑥 𝑘 = 0, 𝛼 𝑘 𝑥 𝑘+1 =0 , 𝛼 𝑘+1 &

63、#119909; 𝑘+1 =1, 𝛽 𝑘 𝑥 𝑘+1 = 0 , 𝛽 𝑘+1 𝑥 𝑘+1 = 0, 𝛼 𝑘 𝑥 𝑘 = 0 , 𝛼

64、 𝑘+ 1 𝑥 𝑘 =0, 𝛽 𝑘 𝑥 𝑘 =1 , 𝛽 𝑘+ 1 𝑥 𝑘 =0, 𝛼 𝑘 𝑥 𝑘+1 = 0 , x

65、572; 𝑘+ 1 𝑥 𝑘+1 =0, 𝛽 𝑘 𝑥 𝑘+1 = 0 , 𝛽 𝑘+ 1 𝑥 𝑘+1 =1,,令 𝛼 𝑘 𝑥 = 𝑎𝑥

66、;+𝑏 𝑥? 𝑥 𝑘+1 2 再由 𝛼 𝑘 𝑥 𝑘 =1和 𝛼 𝑘 𝑥 𝑘 = 0 ，求得𝑎和𝑏于是 𝛼 𝑘 𝑥 =

67、19909;? 𝑥 𝑘+1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘+1 2 1+2 𝑥? 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘+1 ? 𝑥 𝑘 同理，求得 𝛽 𝑘 𝑥 = 𝑥

68、;? 𝑥 𝑘+1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘+1 2 𝑥? 𝑥 𝑘,考察 𝑥 𝑘?1 , 𝑥 𝑘 ,得 𝛼 𝑘 𝑥 = 𝑥? 𝑥

69、 𝑘?1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘?1 2 1+2 𝑥? 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘?1 ? 𝑥 𝑘 𝛽 𝑘 𝑥 = 𝑥? 𝑥 𝑘?

70、1 𝑥 𝑘 ? 𝑥 𝑘?1 2 𝑥? 𝑥 𝑘 于是 𝑆 3 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝛼 𝑘 𝑥 𝑦 𝑘 + 𝛽 𝑘

71、𝑥 𝑦 𝑘,§4.3 三次樣條插值高階插值，光滑性足夠，但由于出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，導(dǎo)致較大計算誤差。分段低階插值雖能避免Runge現(xiàn)象，保證一定計算精度，但光滑性較差。定義4.1 設(shè)𝑆 𝑥 為 𝑎,𝑏 上的三次樣條函數(shù)，插值節(jié)點為𝑎= 𝑥 0 < 𝑥

72、 1 <?< 𝑥 𝑛 =𝑏， 𝑆 𝑥 滿足1）在區(qū)間 𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑘+1 上， 𝑆 𝑥 為三次多項式2） 𝑆( 𝑥 𝑖 )=𝑓 𝑥 𝑖 =

73、𝑦 𝑖 𝑖=0,1,?,𝑛 3) 𝑆 𝑥 在 𝑎,𝑏 上為二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù),𝑆(𝑥)含有4𝑛個待定系數(shù)，要確定𝑆(𝑥)，需要4𝑛個已知條件。 已知條件有 𝑆( 𝑥

74、; 𝑖 )= 𝑦 𝑖 𝑖=0,1,?,𝑛 𝑆 𝑥 𝑖 ?0 =𝑆 𝑥 𝑖 +0 𝑖=1,?,𝑛?1 𝑆 𝑥 &

75、#119894; ?0 = 𝑆 𝑥 𝑖 +0 𝑖=1,?,𝑛?1 𝑆,, 𝑥 𝑖 ?0 =𝑆,, 𝑥 𝑖 +0 𝑖=1,?,𝑛?1 共有4𝑛?

76、2個已知條件補充，如 （1） 𝑆 𝑥 0 = 𝑓 0 ， 𝑆 𝑥 𝑛 = 𝑓 𝑛 （2） 𝑆,, 𝑥 0 =𝑆,, 𝑥 𝑛 =0,確定三次樣條插值函數(shù)的方

77、法有 𝑎、三彎矩方程 𝑏、三轉(zhuǎn)角方程1、三彎矩方程 設(shè)𝑆(𝑥)在節(jié)點𝑎= 𝑥 0 < 𝑥 1 <?< 𝑥 𝑛 =𝑏上的二階導(dǎo)數(shù)𝑆,, 𝑥 𝑖 = 𝑀 𝑖

78、 𝑖=0,1,?,𝑛 ，記 ? 𝑖 = 𝑥 𝑖+1 ? 𝑥 𝑖 𝑖=0,1,?,𝑛?1 在區(qū)間 𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑖+1 上， 𝑆(𝑥)為三次多項式,故𝑆,,

79、 𝑥 𝑖 為一次多項式于是 𝑆,, 𝑥 = 𝑥 𝑖+1 ?𝑥 ? 𝑖 𝑀 𝑖 + 𝑥? 𝑥 𝑖 ? 𝑖 𝑀 𝑖+1,對𝑆,,

80、𝑥 做兩次積分，利用 𝑆( 𝑥 𝑖 )= 𝑦 𝑖 ， 𝑆( 𝑥 𝑖+1 )= 𝑦 𝑖+1 可確定兩個積分常數(shù)，得 𝑆 𝑥 = 𝑥 𝑖+1 ?𝑥 3

81、6 ? 𝑖 𝑀 𝑖 + 𝑥? 𝑥 𝑖 3 6 ? 𝑖 + 𝑥 𝑖 ?𝑥 ? 𝑖 𝑦 𝑖 ? ? 𝑖 2 6 𝑀 𝑖 + ⻖

82、9;? 𝑥 𝑖 ? 𝑖 𝑦 𝑖+1 ? ? 𝑖 2 6 𝑀 𝑖+1 于是 𝑆 𝑥 =? 𝑥 𝑖+1 ?𝑥 2 2 ? 𝑖 𝑀 𝑖 +

83、 𝑥 ?𝑥 𝑖 2 2 ? 𝑖 𝑀 𝑖+1 + 𝑦 𝑖+1 ? 𝑦 𝑖 ? 𝑖 ? 𝑀 𝑖+1 ? 𝑀 𝑖 6 ? 𝑖 𝑥

84、;∈ 𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑖+1,同理,得 𝑆 𝑥 =? 𝑥 𝑖 ?𝑥 2 2 ? 𝑖?1 𝑀 𝑖?1 + 𝑥 ?𝑥 𝑖?1 2 2 ? 𝑖?1 

85、9872; 𝑖 + 𝑦 𝑖 ? 𝑦 𝑖?1 ? 𝑖?1 ? 𝑀 𝑖 ? 𝑀 𝑖?1 6 ? 𝑖?1 𝑥∈ 𝑥 𝑖?1 , 𝑥 𝑖 由連續(xù)條件

86、 𝑆 𝑥 𝑖 ?0 = 𝑆 𝑥 𝑖 +0 ，得 1? 𝑎 𝑖 𝑀 𝑖?1 +2 𝑀 𝑖 + 𝑎 𝑖 𝑀 𝑖+1 = 𝑏 𝑖

87、其中 𝑎 𝑖 = ? 𝑖 ? 𝑖?1 ? ? 𝑖 𝑏 𝑖 = 6 ? 𝑖?1 + ? 𝑖 𝑦 𝑖+1 ? 𝑦 𝑖 ? 𝑖 ? 𝑦 𝑖 ?

88、 𝑦 𝑖?1 ? 𝑖?1,如果補充兩邊界條件 𝑆,, 𝑥 0 = 𝑀 0 = 𝑚 0 , 𝑆,, 𝑥 𝑛 = 𝑀 𝑛 = 𝑚 𝑛 得以下計算 𝑀 1 , 𝑀 2

89、,?, 𝑀 𝑛?1 的線性方程組 𝟐 𝒂 𝟏 𝟏? 𝒂 𝟐 𝟐 𝒂 𝟐 ? ? 𝟏? 𝒂 𝒏?𝟐 ?

90、20784; 𝟏? 𝒂 𝒏?𝟏 𝒂 𝒏?𝟐 𝟐 𝑴 𝟏 𝑴 𝟐 ? 𝑴 𝒏?𝟐 𝑴 𝒏?𝟏

91、 = 𝒃 𝟏 ? 𝟏? 𝒂 𝟏 𝒎 𝟎 𝒃 𝟐 ? 𝒃 𝒏?𝟐 𝒃 𝒏?𝟏 ? 𝒂 𝒏?𝟏 𝒎

92、19951;,§4.3 曲線擬合的最小二乘法 在科學(xué)實驗中，常需要通過一組實驗數(shù)據(jù)來估計函數(shù)𝑓(𝑥)。插值方法為處理這種問題的一類方法，插值方法要求插值曲線通過每一個數(shù)據(jù)點，而實驗數(shù)據(jù)一般含有誤差，這將導(dǎo)致插值函數(shù)保留一切測試誤差，從而不能很好地反映實驗數(shù)據(jù)的總體趨勢。 曲線擬合：從數(shù)據(jù)集中找出數(shù)據(jù)總體分布規(guī)律，構(gòu)造一條較好反映這種分布規(guī)律的曲線𝑃(

93、19909;)。 不要求曲線𝑃(𝑥)點點通過數(shù)據(jù)集，只要求曲線𝑃(𝑥)盡可能靠近數(shù)據(jù)集。,設(shè)有數(shù)據(jù)集 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 𝑖=0,1,?,𝑛 ， 𝑃(𝑥)為擬合曲線，誤差 𝛿 𝑖 =𝑃

94、( 𝑥 𝑖 )? 𝑦 𝑖 ，總誤差 (a) 𝛿 1 = 𝑖=0 𝑛 𝛿 𝑖 (b) 𝛿 2 = 𝑖=0 𝑛 𝛿 𝑖 2 1 2 (c) x

95、575; ∞ = max 0≤𝑖≤𝑛 𝛿 𝑖 采用 𝛿 2 衡量總誤差，并使擬合曲線𝑃(𝑥)總誤差達到最小的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。 對于給定的數(shù)據(jù)集 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 𝑖=0,1,?,𝑛

96、在函數(shù)類?= 𝜑 0 𝑥 , 𝜑 1 𝑥 ,?, 𝜑 𝑚 𝑥 中尋找𝑃(𝑥)，使 𝛿 2 2 = 𝑖=0 𝑛 𝛿 𝑖 2 = 𝑖=0 𝑛

97、𝑃 𝑥 𝑖 ? 𝑦 𝑖 2,達到最小。其中 𝜑 0 𝑥 , 𝜑 1 𝑥 ,?, 𝜑 𝑚 𝑥 線性無關(guān) 𝑃 𝑥 = 𝑎 0 𝜑 0 𝑥 + 

98、9886; 1 𝜑 1 𝑥 +?+ 𝑎 𝑚 𝜑 𝑚 𝑥 待定系數(shù) 𝑎 0 , 𝑎 1 ,?, 𝑎 𝑚 𝛿 2 2 =𝐹 𝑎 0 , 𝑎 1 ,?, Ү

99、86; 𝑚 = 𝑖=0 𝑛 𝑗=0 𝑚 𝑎 𝑗 𝜑 𝑗 𝑥 𝑖 ? 𝑦 𝑖 2 使 𝛿 2 達到最小轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)𝐹 𝑎

100、0 , 𝑎 1 ,?, 𝑎 𝑚 求極小值由 𝜕𝐹 𝜕 𝑎 𝑘 =0 𝑘=0,1,?,𝑚,得 𝑖=0 𝑛 𝑗=0 𝑚 𝑎 𝑗 

101、0593; 𝑗 𝑥 𝑖 ? 𝑦 𝑖 𝜑 𝑘 𝑥 𝑖 =0 𝑘=0,1,?,𝑚記 𝜑 𝑗 , 𝜑 𝑘 =

102、𝑖=0 𝑛 𝜑 𝑗 𝑥 𝑖 𝜑 𝑘 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 , 𝜑 𝑘 = 𝑖=0 𝑛 𝑦 𝑖 ⼛

103、3; 𝑘 𝑥 𝑖 = 𝑑 𝑘 于是 𝑗=0 𝑚 𝜑 𝑗 , 𝜑 𝑘 = 𝑑 𝑘 𝑘=0,1,?,𝑚,矩陣形式為 𝜑 0 , ҵ

104、93; 0 𝜑 0 , 𝜑 1 ? 𝜑 0 , 𝜑 𝑚 𝜑 1 , 𝜑 0 𝜑 1 , 𝜑 1 ? 𝜑 1 , 𝜑 𝑚 ? 𝜑 𝑚 , 𝜑 0

105、 ? 𝜑 𝑚 , 𝜑 1 ? ? 𝜑 𝑚 , 𝜑 𝑚 𝑎 0 𝑎 1 ? 𝑎 𝑚 = 𝑑 0 𝑑 1 ? 𝑑

106、𝑚 𝑘=0,1,?,𝑚因 𝜑 0 𝑥 , 𝜑 1 𝑥 ,?, 𝜑 𝑚 𝑥 線性無關(guān)，故上述方程組系數(shù)矩陣（對稱）行列式不為零，有唯一解。,例4.6 已知一組實驗數(shù)據(jù)求擬合曲線。解：直接觀察，上述數(shù)據(jù)集分布在一條直線附近，故設(shè)擬合曲線方程為

107、 𝑃 𝑥 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥構(gòu)造目標(biāo)函數(shù) 𝛿 2 2 =𝐹 𝑎 0 , 𝑎 1 = 𝑖=0 4 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 𝑖 ? 𝑦 𝑖

108、 2,= 𝑎 0 + 165𝑎 1 ?187 2 + 𝑎 0 + 123𝑎 1 ?126 2 + 𝑎 0 + 150𝑎 1 ?172 2 + 𝑎 0 + 123𝑎 1 ?125 2 + 𝑎 0 + 141𝑎 1 ?148 2 令 &

109、#120597;𝐹 𝜕 𝑎 0 =2 𝑎 0 + 165𝑎 1 ?187 +2 𝑎 0 + 123𝑎 1 ?126 +2 𝑎 0 + 150𝑎 1 ?172 +2 𝑎 0 + 123𝑎 1 ?125 +2 &

110、#119886; 0 + 141𝑎 1 ?148 =0 𝜕𝐹 𝜕 𝑎 1 =2×165 𝑎 0 + 165𝑎 1 ?187 + 2×123 𝑎 0 + 123𝑎 1 ?126 +?+2×141 𝑎

111、 0 + 141𝑎 1 ?148 =0,整理后，得 5 𝑎 0 +702 𝑎 1 =758 702 𝑎 0 +99864 𝑎 1 =108396 解得 𝑎 0 =?60.9392 ， 𝑎 1 =1.5138擬合曲線 𝑃 𝑥 =?60.9392+1.5138&