畢業(yè)論文 一類新的lotka-voterra捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析　

1、<p><b>　　安徽大學</b></p><p>　　本科畢業(yè)論文（設計、創(chuàng)作）</p><p>　　題　　目：　一類新的Lotka-Voterra捕食系統(tǒng)的穩(wěn)　　　　　　　　定性分析　　　　　 　　　　　　　　　 　　　</p><p>　　Lotka-voterra捕食-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制設計</p>

2、<p><b>　　摘 要</b></p><p>　　Lotka-Volterra捕食系統(tǒng)模型是種群動力學一個主要研究內(nèi)容，它在生態(tài)平衡，動植物保護和生態(tài)環(huán)境治理與開發(fā)等領域中有著廣泛的應用。種群間相互作用的關系是種群生 態(tài)學研究的一個主要課題。近年來，種群間相互作用且有疾病流行或收獲率的情況受到越來越多的學者關注和研究，具有重要的理論意義和應用價值。</p>&

3、lt;p>　　論文系統(tǒng)的研究了兩種群的捕食者-食餌系統(tǒng)，利用常微分方程定性理論和Lyapunov穩(wěn)定性理論的基本方法，研究捕食者-食餌系統(tǒng)的平衡點的存在性，全局穩(wěn)定性，極限環(huán)的存在性和唯一性。</p><p>　　關鍵字：捕食系統(tǒng)；生態(tài)平衡；平衡點；全局穩(wěn)定性；唯一性</p><p>　　Stability analysis and control design of Lolta-v

4、olterra model </p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Lolta-Volterra predator-Prey system model is an important content of population dynamics. This model is extensively applied in ecolog

5、ical balance, protection of plants, creatures and in the control and government of environment. The interaction between species is an important topic in the field of population ecology.In recent years, the interaction sp

6、ecies with diseases or harvest rate have attracted much</p><p>　　attention due to their significant nature in both theory and application.The predator-prey system is considered systemically in this thesis,by

7、 using the qualitative theory and stability theory of ordinary differential equation,we study the global stability of equilibrium,existence and uniqueness of limit cycle for a predator-prey system with functional respons

8、e function.</p><p>　　Keywords: Predator-Prey system; ecological balance;equilibrium point;global asymptotic stability;uniqueness.</p><p><b>　　目 錄 </b></p><p>　　1 引言&#

9、183;····································

10、····································

11、3;···················1</p><p>　　1.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究意義···········

12、····································

13、3;··················2</p><p>　　1.2 Lotka-voterra(L-V)捕食系統(tǒng)及其研究的意義·········

14、;····························2</p><p>　　1.3 生態(tài)學中捕食者-食餌系統(tǒng)研究概況·&

15、#183;····································

16、;···········3</p><p>　　1.3.1 研究基礎····················

17、;····································

18、83;························3</p><p>　　1.3.2 國內(nèi)外研究歷史與現(xiàn)狀·····

19、83;····································&

20、#183;····················4</p><p>　　1.3.3 研究捕食者-食餌系統(tǒng)的發(fā)展趨勢········&#

21、183;····································

22、····5</p><p>　　1.4經(jīng)典的LOTKA-VOLTERRA捕食者-食餌模型························

23、···················5</p><p>　　2 系統(tǒng)模型的建立············&

24、#183;····································

25、;·····························8</p><p>　　3 穩(wěn)定性判定理論··

26、····································

27、3;····································&#

28、183;··8</p><p>　　3.1 Routh-Hurwits穩(wěn)定性判據(jù)··························&#

29、183;··································9</p>

30、<p>　　3.2 奈奎斯特（Nyquist）判別法·······························&#

31、183;···························9</p><p>　　3.3 李雅普諾夫直接法···

32、····································

33、3;······························10</p><p>　　3.3.1 李雅普諾夫意

34、義下的穩(wěn)定性定義···································&#

35、183;············10</p><p>　　3.3.2 線性系統(tǒng)李雅普諾夫方法·················

36、;····································

37、83;···11</p><p>　　3.3.3 基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論的一種非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)··············13</p><p>　　4 利用穩(wěn)定性理論研究L-V系統(tǒng)···

38、;····································

39、83;···················14</p><p>　　4.1 平衡點的局部穩(wěn)定性···········

40、;····································

41、83;···················14 </p><p>　　4.2 平衡點的全局穩(wěn)定性········

42、····································

43、3;······················16</p><p>　　5 仿真·········

44、83;····································&

45、#183;····································

46、;········19</p><p>　　5.1 顯示Euler方法······················&

47、#183;····································

48、;··············19</p><p>　　5.2 模型平衡點的模擬················&#

49、183;····································

50、·················20</p><p>　　6 結論···············

51、;····································

52、83;····································&

53、#183;··21</p><p>　　主要參考文獻····························

54、3;····································&#

55、183;················23</p><p>　　致謝···············

56、83;····································&

57、#183;····································

58、;·····24</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　種群生態(tài)學是在傳統(tǒng)數(shù)學與生物學的基礎上衍生出的一門新的學科，它在一定程度上把生態(tài)學與數(shù)學聯(lián)系在一起.種群生態(tài)學主要是通過構造數(shù)學模型，并運用數(shù)學理論對這些模型進行分析研究，從而得到所研究系統(tǒng)中種群的生物特性.</p>&

59、lt;p>　　早在16世紀，就有用數(shù)學方法估算種群數(shù)量的事例，但直到1925一1926年，Lotka-volterr模型的提出才使種群生態(tài)學的發(fā)展有了顯著的進步.此后，對種群的研究由最初的以描述為主發(fā)展為以實驗，定量，定性研究為主1957年冷泉港的國際會議有關種群調(diào)節(jié)理論的討論，標志著種群生態(tài)學成為生物學的主流.不僅吸引了大量的生物學學者對此的研究，也吸引了大批的數(shù)學學者對此的研究.此后種群生態(tài)學在學術界的熱度一直有增無減。<

60、;/p><p>　　我們知道，種群是指在一定時間內(nèi)占據(jù)一定空間的同種生物的所有個體，它不僅與周圍環(huán)境有著物質(zhì)與能量的交換，而且還存在著種內(nèi)競爭，種間的競爭，捕食，互惠等關系，這些都對種群的生物特性起著重要的影響.考慮到這些因素，很多學者通過在所構造的系統(tǒng)中加入合適的系數(shù)或適當?shù)捻梺眢w現(xiàn)出上述的各種影響.在現(xiàn)實的生態(tài)系統(tǒng)中，我們所研究的某代種群不僅僅與當代種群間有著密切的關系，而且還受前幾代種群的影響和制約.因此，又有

61、學者通過加入時滯來體現(xiàn)這種影響.隨著種群生態(tài)學的發(fā)展和研究的逐步深入，新的數(shù)學模型越來越能準確的反應出實際種群的生物特性。</p><p>　　1.1系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的</p><p>　　意義系統(tǒng);system 又稱體系是熱力學的一個基本概念。根據(jù)研究的需要，人為地把一部分物體從周圍的物體中劃分出來(可以是實際的，也可以是想像的)作為研究對象。這被劃分出來的一部分物體稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)之外與系

62、統(tǒng)有直接聯(lián)系的物體統(tǒng)稱為環(huán)境(surrounding)。</p><p>　　系統(tǒng)穩(wěn)定性：輸出響應有限（有界）的系統(tǒng)。也就是說，系統(tǒng)受到有界輸入或者干擾作用，其響應的幅值也是有界的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。</p><p>　　當控制系統(tǒng)在使它偏離平衡狀態(tài)的擾動作用消失后，返回原料平衡狀態(tài)的能力。也就是說。控制系統(tǒng)在去掉作用于系統(tǒng)上的擾動之后。系統(tǒng)能夠以足夠的精度恢復到初始平衡狀態(tài)。凡是具有上述特

63、性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以分成在大范圍內(nèi)穩(wěn)定和小范圍內(nèi)穩(wěn)定兩種。如果系統(tǒng)受到擾動后，不論它的初始偏差多大，都能以足夠的精度恢復到初始平衡狀態(tài)，這種系統(tǒng)就叫大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)。如果系統(tǒng)受到擾動后，只有當它的初始偏差小于某一定值才能在取消擾動后恢復初始平衡狀態(tài)，而當它的初始偏差大于限定值時，就不能恢復到初始平衡狀態(tài)，這種系統(tǒng)就叫做在小范圍內(nèi)穩(wěn)定的系統(tǒng)。</p><p>　　穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能

64、，也是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件，因此對穩(wěn)定性的研究一直是控制理論的熱點?？刂葡到y(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動下偏離原來的平衡狀態(tài)，發(fā)生振蕩越來越嚴重的現(xiàn)象，從而導致系統(tǒng)不能正常工作。因此，系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別就成為控制理論研究的最基本任務之一。</p><p>　　1.2 Lotka-voterra(L-V)捕食系統(tǒng)及其研究的意義</p>&

65、lt;p>　　種群生態(tài)學是生態(tài)學的一個重要分支，也是與人們生產(chǎn)生活密不可分的學科之一。為滿足人類自身的發(fā)展需要，我們必須對各種生物資源進行合理的開發(fā)和科學的管理，使其更好地為人類服務。對種群生態(tài)學的研究主要從兩個方面來進行：一是對種群自身的發(fā)展變化進行分析；二是在人為因素下，對種群的發(fā)展變化進行分析和預測。這對于我們實行可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略起著非常重要的作用，為我們正常的生產(chǎn)生活提供理論依據(jù)和科學指導。</p><p

66、>　　種群生態(tài)學的主要研究對象是捕食者-食餌模型，這是美國生態(tài)學家A.J.Lotka(1925)和意大利數(shù)學家V.Voterra(1926)各自獨立建立的捕食-被捕食系統(tǒng)模型和競爭系統(tǒng)模型，Odum在1971年把前述模型推廣到互利系統(tǒng)。以后人們把這三種模型統(tǒng)稱為Lotka-voterra(L-V)模型。70多年來Lotka-voterra模型描述的生態(tài)動力系統(tǒng)，吸引了眾多數(shù)學家、數(shù)學生態(tài)學家、生態(tài)學家、經(jīng)濟學家從不同角度，用各自熟

67、悉的方法去研究兩種群相互作用系統(tǒng)。生態(tài)學家進行了許多野外和實驗室觀察、監(jiān)測、研究，有的實例證實了Lotka-voterra模型確實描述、解釋了一些生態(tài)規(guī)律、預測和控制著某些生態(tài)變化過程；一些生態(tài)試驗結果對模型提出了質(zhì)疑，這都促使人們不斷的修改生態(tài)模型，使其更加切近實際。在兩種群相互作用模型中，數(shù)學生態(tài)學研究得最多的是捕食-食餌系統(tǒng)。生態(tài)數(shù)學模型作為一種重要的生態(tài)學研究方法,在解釋生態(tài)現(xiàn)象,描述生態(tài)系統(tǒng)物質(zhì)、能量、信息、價值流向等生態(tài)變化

68、過程,揭示生態(tài)系統(tǒng)其內(nèi)在規(guī)律,預測生態(tài)變化趨勢等許多間題中都發(fā)揮著巨大的作用。數(shù)學模型不僅是對生態(tài)系統(tǒng)進行定性分析和定量研究的理論基</p><p>　　生態(tài)學家常從理論指導和實際應用兩個方面研究捕食對種群的影響,因為這個問題對人類和種群本身都具有十分重要的意義。捕食可以限制種群的數(shù)量,如果被捕食的種群是有害的,則捕食現(xiàn)象就可以達到防治的目的。捕食同競爭一樣,是影響群落結構的主要生態(tài)過程，捕食同時也是一個主要的選

69、擇壓力,生物的很多適應性都可以用捕食者和食餌之間的協(xié)同進化加以說明，因而捕食者-食餌相互作用關系的研究具有非常重要的理論意義和應用價值,許多學者對此進行了深入而廣泛的討論,取得了大量的研究成果。由于數(shù)學生態(tài)學的迅速發(fā)展,研究浦食者與被捕食者之間的諸多動力學性質(zhì)已成為生物學家和數(shù)學家共同關注的一個重要課題,它廣泛的應用性和重要的理論與實際意義,近百年來已經(jīng)得到了長足的發(fā)展。但是,大多數(shù)研究都是就某一個具體的或者某一類生物數(shù)學模型的某些動力

70、學行為進行研究,盡管也有這面的學術專著比較系統(tǒng)全面的總結了一些前人的研究成果,然而由于捕食者-食餌系統(tǒng)在理論和應用方面的重要性,另外隨著生物和數(shù)學的深入發(fā)展,捕食者-食餌系統(tǒng)在近年來又有了很多新的發(fā)展,同時以前研究的成果也有了更加深入系統(tǒng)的發(fā)展,而對這些理論和應用上的新成果,新的研究方向的系統(tǒng)性研</p><p>　　1.3生態(tài)學中捕食者-食餌系統(tǒng)研究概況</p><p><b>

71、;　　1.3.1研究基礎</b></p><p>　　捕食是指某物種消耗另一物種的全部或者部分身體，直接獲得營養(yǎng)，維持自身的生存和繁殖的現(xiàn)象。前者稱為捕食者，后者稱為食餌，亦可稱為被捕食者、獵物。生態(tài)學上把捕食作用分為廣義和狹義的。狹義的捕食關系是指食肉動物直接捕食獵物作為食物。廣義的捕食包括昆蟲擬寄生者從宿主體內(nèi)獲取營養(yǎng)，直到宿主死亡為止；食草動物取食綠色植物；同類相食。一物種從另一物種的體液，組織

72、或者已經(jīng)消化的物質(zhì)中吸取營養(yǎng)，并對宿主造成傷害的作用成為寄生。盡管寄生物依附宿主而存在，長時間攝取營養(yǎng)而不立刻殺死宿主，但是就其本質(zhì)而言，和廣義的捕食-食餌關系是一致的，所建構的模型也相同，只不過模型參數(shù)有所差異。因此我們把這樣的模型統(tǒng)稱為捕食者-食餌系統(tǒng)模型，本文的所有工作均建立在這個基礎之上。</p><p>　　1.3.2國內(nèi)外研究歷史與現(xiàn)狀</p><p>　　隨著捕食者-食餌系統(tǒng)

73、的建立、改進,對于這些系統(tǒng)的定性分析的研究也在不斷的發(fā)展,尤其是近三十年來這方面的研究得到了實質(zhì)和全面的發(fā)展,其研究的成果相當豐富,許多文獻和著作都總結和收錄了這方面的工作。從數(shù)學的角度來看,這是常微分方程定性理論深入發(fā)展的需要；從生態(tài)學角度來看,這為捕食者一食餌系統(tǒng)復雜性質(zhì)的研究開辟了一個新的領域。自上世紀60年代以來，對捕食者一食餌系統(tǒng)的研究取得了多方面的進展，Rosenzweing和MacArthur[1]提出了一類比Volter

74、ra和Leslie模型更為真實的模型，即“R-M”模型。對于這個模型許多學者都進行了比較深入的研究。最先用圖表法和數(shù)值法研究了該模型的穩(wěn)定性陳蘭蓀和井竹君[2]用微分方程定性分析的方法對它作了詳細完整的分析,討論了極限環(huán)的存在性和唯一性。另一方面，Holling1965年在實驗研究的基礎上，對不同類型的捕食者提出了三種不同的營養(yǎng)函數(shù)[6]。</p><p>　　1995年，Hsu S B和Huang T.W[7]

75、研究了“R-M”模型的全局穩(wěn)定性。王穩(wěn)地和陳蘭蓀[8]二十世紀末期較早考慮了階段結構的捕食系統(tǒng),在文獻中,他們假設幼體轉(zhuǎn)化成為成體的轉(zhuǎn)化量與其幼體的數(shù)量成正比之后得到相對于系統(tǒng)的具有階段性結構和類功能性反應的捕食-食餌系統(tǒng)。1996年，黃建民考慮了非自治的“R-M”模型,2001年,范猛,王克[9]則進一步考慮了含時滯的系統(tǒng),利用重合度理論得到保證系統(tǒng)存在正周期解的充分性條件。張娟和馬知恩[10]在文[11]的基礎上,對一類功能性反應的

76、捕食系統(tǒng)存在唯一正平衡點的情況進行了全面細致的定性分析,確定了唯一正平衡點全局漸近穩(wěn)定,以及在其外圍存在極限環(huán)的條件,特別地,首次證明了對具有類功能性反應的捕食系統(tǒng)也存在至少兩個極限環(huán),其中內(nèi)層為不穩(wěn)定環(huán),外層為穩(wěn)定環(huán),并給出兩個環(huán)存在的參數(shù)區(qū)域。同年,張娟和馬知恩進一步討論了該系統(tǒng)存在唯一正平衡點時在其外圍存在唯一極限環(huán)的條件。1998年沈伯賽,趙文園在文獻[14]中證明了該系統(tǒng)在第一象限內(nèi)至少可以出現(xiàn)12種不同的軌線分布,而且不難構

77、造出它們的具體例子，這一結論得到廣泛的應用。賈建文[15]等人考慮系</p><p>　　1.3.3研究捕食者-食餌系統(tǒng)的發(fā)展趨勢</p><p>　　一方面，研究捕食者-食餌模型最重要的數(shù)學工具是平面定性理論和李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。由于平面定性理論與平面幾何緊密聯(lián)系在一起，近年來的發(fā)展，已經(jīng)形成一套獨特的研究平面系統(tǒng)的方法，有關利用平面定性理論研究生態(tài)學的文獻大量涌現(xiàn)，加上廣泛的應用背景

78、，相關學科諸如純粹數(shù)學，運籌學，生態(tài)學，病理學正在相互滲透，相互促進，促使這一理論迅速而深入的發(fā)展；另一方面，生物群落是在特定的時間聚集在一定地域內(nèi)的所有的生物種群的集合，在自然中，任何一種物種都不是孤立存在的，它總要同其他的物種發(fā)生這樣或那樣的系，物種之間的相互關系對于整個生物界的生存和發(fā)展都極為重要，物種的多樣性，生物群落的復雜性決定了在一個生物群落里面不可能只存在捕食者和食餌兩種生物，研究n種群生物群落，成為國內(nèi)外學者的新方向，群

79、落符號有向圖和群落矩陣是研究生物群落穩(wěn)定性的有效工具，因此有必要對這方面知識做深入的研究學習。</p><p>　　1.4經(jīng)典的Lotka-Volterra捕食者-食餌模型</p><p>　　20世紀20年代微分方程理論第一次在生物科學中得到應用，經(jīng)典的Lotka-Volterra系統(tǒng)是Lotka在1925年和Volterra在1926年運用動力學方法所建立的模型：</p>

80、<p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　這里，a>0,b>0,c>0,d>0，x代表食餌種群的數(shù)量，y代表捕食者種群數(shù)量，a為食餌種群自然繁殖率，b為捕食者與食餌相遇所導致的食餌死亡率，c為捕食者與食餌相遇所導致的捕食者增長率，d為捕食者的自然死亡率。這是一個比較簡單的Lotka-Volterra模型，也是最經(jīng)典的模型，它建立過程中沒有

81、考慮資源的有限性，也就是種群的密度制約因素。該系統(tǒng)有兩個平衡點O(0,0)，M( d/c,a/b )。Volterra證明了這個系統(tǒng)的首次積分為：</p><p><b>　　其中，</b></p><p>　　于是，由常微分方程定性理論的知識易知，平衡點M是系統(tǒng)的中心點，因而M點外圍將有一系列閉軌線環(huán)繞，每一條閉軌線對應著常數(shù)k的一個確定的數(shù)值。這說明在M點外圍鄰近

82、，系統(tǒng)的解都是周期解。因此在Lyapunov穩(wěn)定性意義下，點M非漸近穩(wěn)定，表示在上述系統(tǒng)中，沒有使它力圖保持非平凡平衡狀態(tài)的機制。如果考慮密度制約因素，在無其他種群干擾時，在一個確定的地域，即使沒有捕食者，食餌也不可能無限增長，即使食餌無限多，捕食者也不可能無限繁殖。種群的增長適應Logistic方程，即系統(tǒng)(1-1)變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　（1-2）</b></p>

83、<p>　　其中：e,f分別反映兩種群的密度制約因素。</p><p>　　假設所有被捕殺的食餌都被捕食者消費掉，并且按照正比例轉(zhuǎn)化成新的捕食者，則食餌-捕食者的一般形式可以表示為：</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　這里，x與y分別表示食餌和捕食者的種群數(shù)量，g (x)表示食餌種群在無捕食者的情

84、況下的相對增長率，k是轉(zhuǎn)化系數(shù)，是捕食者的功能性反應，也就是營養(yǎng)函數(shù)，表示在單個捕食者情況下，食餌數(shù)量關于時間的變化率。Lotka-Volterra模型雖然應用廣泛，但是存在明顯的不合理之處，Holling(1965年)在實驗研究的基礎上，對不同類型的捕食者提出了三種不同的營養(yǎng)函數(shù)，它們都是不減的有界函數(shù)。</p><p>　　I類營養(yǎng)函數(shù)，又稱線性反應函數(shù)：</p><p>　　多見于濾

85、食性捕食動物（如多數(shù)軟體動物，大型溞對藻類和酵母的取食）具有明顯飽和度的營養(yǎng)函數(shù)。</p><p><b>　　II類營養(yǎng)函數(shù)為：</b></p><p>　　表示捕食者的捕食量隨食餌增加而上升，直到飽和水平，食物多時，捕食者的饑餓程度降低并呈現(xiàn)負加速，此類營養(yǎng)函數(shù)多見于無脊椎動物和某些食肉魚類。1913年，Michaelis和Menten在研究催化劑反應時，提出上述

86、的反應函數(shù)，因此，HollingII功能性反應又稱為Michaelis-Menten函數(shù)。</p><p>　　III類營養(yǎng)函數(shù)為：</p><p>　　這類功能反應為具有復雜行為的脊椎動物所特有，在食物較少時，學習捕捉，隨著食物增多而捕食率加速，食物數(shù)量超過一定值時，饑餓程度降低且出現(xiàn)負加速，最后達到飽和[6]。隨著近年來研究的深入，更接近實際模型更一般的營養(yǎng)函數(shù)形式為：</p&g

87、t;<p>　　對以上幾種不同功能性反應函數(shù)所對應的捕食者-食餌模型，國內(nèi)外學者進行了卓有成效的研究，其中Wolkowicz[18]對(1-3)系統(tǒng)的動力學學位進行了研究，以最大容量做分支參數(shù)，證明了系統(tǒng)(1-3)具有豐富的動力學行為，如同宿分岔現(xiàn)象。系統(tǒng)(1-3)對不同的營養(yǎng)函數(shù)具有很強的依賴性，后面會對此舉例做進一步的闡述。</p><p><b>　　2 系統(tǒng)模型的建立</b&

88、gt;</p><p>　　在兩種群捕食與被捕食的模型上考慮食餌種群的單向遷移。模型如下:</p><p><b>　?。?.1.1）</b></p><p>　　系統(tǒng)中x1和x2表示斑塊1和斑塊2中的食餌種群密度，y表示斑塊2中捕食者的種群密度;為食餌種群的出生率，和分別表示斑塊1和斑塊2中食餌的密度制約率;表示食餌從斑塊1向斑塊2的遷徙率;

89、k表示捕食者對食餌的捕食率，食餌向捕食者的轉(zhuǎn)化率;為捕食者的死亡率，E表示對捕食種群的捕獲強度。由于系統(tǒng)(2.1.1)的實際意義，僅在區(qū)域內(nèi)對系統(tǒng)進行討論。顯然，設存在充分小的正數(shù)，使得</p><p><b>　　3 穩(wěn)定性判定理論</b></p><p>　　直接方法：求解出系統(tǒng)特征方程根，從而判定。弊端很明顯，高階方程求解困難。</p><p

90、>　　判別方法有很多，主要分為以下幾種：</p><p><b>　　求根法</b></p><p>　　代數(shù)判別（Routh和Hurwits）</p><p><b>　　根軌跡法</b></p><p><b>　　Nyquist判據(jù)</b></p>&

91、lt;p><b>　　李雅普諾夫直接法</b></p><p><b>　　Matlab判別</b></p><p>　　下面介紹幾種主要判別法：</p><p>　　3.1 Routh-Hurwits穩(wěn)定性判據(jù)</p><p><b>　　系統(tǒng)特征方程：</b><

92、/p><p><b>　　列Routh表：</b></p><p>　　Routh-Hurwits判據(jù)說明：系統(tǒng)特征方程中具有正實根的個數(shù)等于勞斯表中第一行元素符號變化的次數(shù)。</p><p>　　由此可得：系統(tǒng)穩(wěn)定則勞斯表中第一行元素的符號均為正或者均為負；系統(tǒng)不穩(wěn)定則系統(tǒng)根的個數(shù)等于符號變化次數(shù)。</p><p>　　勞

93、斯表的第一列可能出現(xiàn)下列情況：</p><p>　　第一列元素均不為零（常規(guī)情況）；</p><p>　　第一列元素有元素為零，且為零的那一行其他元素均不為零。</p><p>　　勞斯表中出現(xiàn)全零行。</p><p>　　同（3）且在虛軸上有重根。</p><p>　　3.2 奈奎斯特（Nyquist）判別法<

94、/p><p>　　根據(jù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的準則，美國學者H.奈奎斯特1932年所提出。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)本質(zhì)上是一種圖解分析方法，它在應用上非常方便和直觀。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)只能用于線性定常系統(tǒng)。在經(jīng)典控制理論中，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)主要用于分析單變量系統(tǒng)的穩(wěn)定性。</p><p>　　設為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，在中取得到系統(tǒng)開環(huán)頻率響應。當參變量 由0變化到時，可在復數(shù)平面上畫

95、出 隨的變化軌跡，稱為奈奎斯特圖。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的基本形式表明，如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在復數(shù)平面的虛軸上既無極點又無零點，那么有，其中P是開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)。N是當角頻率 由0變化到時的軌跡沿逆時針方向圍繞實軸上點的次數(shù)。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)還指出：Z=0時，閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定；Z≠0時，閉環(huán)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。</p><p>　　Nyquist準則指出，對于典型閉環(huán)系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)移函數(shù)為：</p>

96、;<p>　　若其開環(huán)頻率響應（幅相特性）在平面的圖形不與點相交也不包括該點在內(nèi)，則該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。</p><p>　　對于奈奎斯特（Nyquist）判別法，也可通過幅角原理證明，此處略。</p><p>　　3.3 李雅普諾夫直接法</p><p>　　3.3.1 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義</p><p>　　系統(tǒng)

97、運動的穩(wěn)定性，實質(zhì)上就是平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。對于線性定常系統(tǒng)，因為只有唯一的一個孤立平衡點，所以才能籠統(tǒng)的提出系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。對于其他的系統(tǒng)而言。不會只有一個平衡點，不同的平衡點有著不同的穩(wěn)定性，因此只能研究某一平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。所以首先了解下平衡狀態(tài)的定義，才能討論系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關問題。</p><p><b>　　設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為</b></p><p><

98、;b>　?。?.1）</b></p><p>　　其中，為線性或者非線性的維空間的向量函數(shù)。若對所有，狀態(tài)均滿足，則該狀態(tài)為平衡狀態(tài)，記為。那么有</p><p>　　由平衡狀態(tài)在狀態(tài)空間中所確定的點，成為平衡點。</p><p>　　定義2.1.1 對于系統(tǒng)（2.1），對任意給定的正實數(shù)，都存在另一個正實數(shù)，使得當</p><

99、;p>　　則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，其中是與和有關的實數(shù)；若與無關，則稱是一致穩(wěn)定的。</p><p>　　定義2.1.2 若平衡狀態(tài)在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，并且當時，趨近于，即，則稱平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義2.1.3 對于系統(tǒng)（2.1），對任意給定的正實數(shù)，都存在另一個正實數(shù)，使得當系統(tǒng)的初值時，有</p>

100、<p>　　則稱系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是指數(shù)漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定義2.1.4 若平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，且其漸近穩(wěn)定的最大范圍是整個狀態(tài)空間，則平衡狀態(tài)就稱做大范圍內(nèi)的漸近穩(wěn)定。</p><p>　　定義2.1.5 如果對于某一實數(shù)和任意實數(shù)，當時，總存在一個初始狀態(tài)，使</p><p>　　則稱平衡狀態(tài)而是Lyapunov意義下不穩(wěn)定。&l

101、t;/p><p>　　平凡解的穩(wěn)定性(包括漸近穩(wěn)定、穩(wěn)定、不穩(wěn)定)是由解 “走近”原點、“不遠離”原點、“遠離”原點來決定的。</p><p>　　3.3.2 線性系統(tǒng)李雅普諾夫方法</p><p>　　李雅普諾夫第一法又稱間接法，通過求解系統(tǒng)狀態(tài)方程的解或計算系統(tǒng)矩陣的特征多項式和特征值來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李雅普諾夫第一法通過分析系統(tǒng)微分方程的顯式解來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定

102、。對線性定常系統(tǒng)，它可以直接通過系統(tǒng)的特征根情況來分析。其基本思路與經(jīng)典控制論中的穩(wěn)定性判別思路基本一致。[11]</p><p>　　設線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為：</p><p>　　在討論系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性（內(nèi)部穩(wěn)定）時，可以不考慮系統(tǒng)的輸入結構和輸入信號，只從系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程或矩陣出發(fā)。很明顯，當時，是系統(tǒng)的唯一平衡點。對于的穩(wěn)定性．我們有如下判據(jù)（大范圍漸進穩(wěn)定的充要條件)：當線性定

103、常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的所有特征根都有負的實部時，其唯一的狀態(tài)平衡點是漸進穩(wěn)定的，而且是大范圍漸進穩(wěn)定。</p><p>　　這里舉一個簡單的例子來幫助我們理解李雅普諾夫間接法：</p><p>　　例：，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。</p><p>　　這里只給出了矩陣A，主要是因為對線性定常系統(tǒng)而言，穩(wěn)定性完全取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)，而與外部輸入、初始條件無關。</p&g

104、t;<p>　　用李雅普諾夫第一法，</p><p>　　得到。則系統(tǒng)矩陣A的所有特征根都有負的實部，所以系統(tǒng)平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的。</p><p>　　李雅普諾夫第二法也稱直接法，直接由系統(tǒng)的運動方程出發(fā)。通過構造一個類似于“能量”的李雅普諾夫函數(shù)，并分析它及其一次導數(shù)的定號性而獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關信息。李雅普諾夫第二法不必求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程，而是通過一個系統(tǒng)的能量函數(shù)來直

105、接判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以又稱直接法。它不但適合線性定常系統(tǒng)，而且適用于非線性和時變的系統(tǒng)。在實際系統(tǒng)中，往往不容易找出系統(tǒng)的能量函數(shù)．于是李雅普諾夫定義了一個正定的標量函數(shù)，作為系統(tǒng)的一個虛構的廣義能量函數(shù)。根據(jù)的符號性質(zhì)，可以判斷系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性。[11] 平凡解的穩(wěn)定性(包括漸近穩(wěn)定、穩(wěn)定、不穩(wěn)定)是由解 “走近”原點、“不遠離”原點、“遠離”原點來決定的。而這些信息分別等價于是t的下降、不增、上升函數(shù)。</p>&l

106、t;p>　　根據(jù)的符號性質(zhì)，可以判斷系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性。</p><p>　　定理2.3.1 對于系統(tǒng)（2.1），為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。</p><p>　　如果存在一個正定的標量函數(shù)，并且具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，那么根據(jù)的符號性質(zhì)，我們有：</p><p>　?、偃粼谄胶恻c附近的鄰域是負定的，則系統(tǒng)在平衡點為Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定；</p>

107、;<p>　?、谌粼谄胶恻c附近的鄰域是半負定的，且隨著系統(tǒng)狀態(tài)的運動，不恒為零，則系統(tǒng)在平衡點為Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定；</p><p>　?、廴粼谄胶恻c附近的鄰域是半負定的，且隨著系統(tǒng)狀態(tài)的運動，恒為零，則系統(tǒng)在平衡點為Lyapunov意義下的穩(wěn)定；</p><p>　?、苋粼谄胶恻c附近的鄰域是正定的，則系統(tǒng)在平衡點為Lyapunov意義下的不穩(wěn)定；</p&

108、gt;<p>　?、萑羝胶恻c處為Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定，又當時，有，則系統(tǒng)為全局漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　應當指出，上述穩(wěn)定性判據(jù)只是一個充分條件．并不是必要條件。如果給定的滿足上述四個條件之一，那么其結果成立。反之，如果給定的不滿足上述任何一個條件，那么只能說明所選的對系統(tǒng)（2.1）失效，必須重新構造。</p><p>　　并且這里需要注意的是若把正定換為

109、，則定理2.3.1的結論一般不成立。反例如下：</p><p><b>　　對系統(tǒng)</b></p><p><b>　　通解為</b></p><p>　　顯然零解不穩(wěn)定。但作函數(shù)</p><p><b>　　則有</b></p><p><b&g

110、t;　　且有</b></p><p>　　即有及但零解卻是不穩(wěn)定的。</p><p>　　下面給出本文1.1中提到的使用李雅普諾夫第二法對于Routh-Hurwitz判據(jù)的主要證明步驟。</p><p>　　設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為</p><p><b>　　為其平衡狀態(tài)。</b></p>

111、<p>　　根據(jù)李雅普諾夫第二法，此平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定的充分和必要條件是對于任意給定的對稱正定矩陣，都存在一個對稱正定矩陣P，使得</p><p>　　而為所選定的李雅普諾夫函數(shù)。</p><p>　　若給定的為非負定的，則要求在沿任一零輸入響應的軌跡上不恒等于零。</p><p>　　用李雅普諾夫第二法證明赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)的步驟如下：</p

112、><p>　?、賹⒔o定的描述系統(tǒng)運動的高階齊次微分方程變換為齊次狀態(tài)方程；</p><p>　?、诮o定對稱正定（或非負定）矩陣，求出相應的矩陣；</p><p>　　③由要求矩陣為正定的條件證明赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)。</p><p>　　3.3.3 基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論的一種非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)</p><p>　　基于

113、李雅普諾夫穩(wěn)定理論，提出一種直觀的非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別算法（簡稱DNSA），這種算法是建立在一類非線性動態(tài)系統(tǒng)的模型結構上。該判別方法可用定理方式給出：</p><p>　　考慮普遍性的非線性系統(tǒng)</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　式中：為連續(xù)變量；為非線性系統(tǒng)的初始向量；為關于其自變量的維非線性向量函數(shù)，且

114、可以是時變的。</p><p>　　定理2.4.1 非線性系統(tǒng)（2.4）是大范圍穩(wěn)定的，當?shù)膫€狀態(tài)方程，均含，且最多只允許有個一次項，其余各項的次數(shù)必須大于等于2。</p><p>　　定理2.4.2 非線性系統(tǒng)（2.4）是Lyapunov意義下穩(wěn)定的，當?shù)膫€狀態(tài)方程，均含，且最多只允許有個一次項，其余各項的次數(shù)必須大于等于2。</p><p>　　定理2.4.

115、3 非線性系統(tǒng)（2.4）是不穩(wěn)定的，當?shù)膫€狀態(tài)方程，均含，但存在大于0的，且最多只允許有個一次項，其余各項的次數(shù)必須大于等于2</p><p>　　4 利用穩(wěn)定性理論研究L-V系統(tǒng)</p><p>　　4.1 平衡點的局部穩(wěn)定性</p><p>　　求系統(tǒng)(2.1.1)的平衡點即求:</p><p><b>　　（2.2.1）&l

116、t;/b></p><p>　　的解，通過方程可得符合條件（2.2.1）的兩個解：。</p><p><b>　　其中：</b></p><p><b>　　要保證則滿足條件：</b></p><p><b>　　（2.2.2）</b></p><p&

117、gt;<b>　　定理2.2.1 當</b></p><p>　　證:討論風的局部穩(wěn)定性需要考慮系統(tǒng)</p><p><b>　　（2.2.3） </b></p><p>　　系統(tǒng)（2.2.3）的雅可比矩陣為：</p><p><b>　　定理（2.2.2）</b></p

118、><p>　　證：系統(tǒng)（2.1.1）在的雅可比矩陣為：</p><p>　　雅可比矩陣在處的特征方程為：</p><p>　　化簡得：由Hurwits判別法，正平衡點凡局部漸進穩(wěn)定。</p><p>　　4.2 平衡點的全局穩(wěn)定性</p><p>　　定理2.2.3 當是全局漸進穩(wěn)定的</p><p&

119、gt;　　證：從例（2.2.3）中可以得出</p><p><b>　?。?.2.4）</b></p><p>　　可知系統(tǒng)（2.2.3）的任意解是有界限的。</p><p>　　構造Lyapunov函數(shù)[19]:</p><p>　　其中和是待定正常數(shù)。利用（2.2.3）得：</p><p>&

120、lt;b>　　取 </b></p><p><b>　　故只需要取使其滿足</b></p><p>　　要使，則要求是全局漸進穩(wěn)定的。</p><p>　　定理2.2.4 如果系統(tǒng)滿足式（1）和（2），則式全局漸進穩(wěn)定的。</p><p>　　證:構造Lyapunov函數(shù)[19]:</p>

121、<p>　　其中是待定正常數(shù)，利用條件（2.1.2）得：</p><p><b>　　令則</b></p><p><b>　　這里要求即</b></p><p><b>　　那么</b></p><p><b>　　取使其滿足</b><

122、;/p><p>　　則是全局漸進穩(wěn)定的。</p><p><b>　　5 仿真</b></p><p>　　用數(shù)值計算方法顯式Euler方法對系統(tǒng)（2.1.1）進行模擬[20]。</p><p>　　5.1 顯示Euler方法</p><p>　　考慮微分方程初值問題:</p><

123、p><b>　?。?.3.1）</b></p><p>　　其中，一般可取。在區(qū)間取離散節(jié)點</p><p>　　為常數(shù)，稱為步長，上述節(jié)點是等距的，當然也可以是不等距的，為了方便起見，Euler主要以等距節(jié)點的討論為主。初值問題 (2.3.1)的解y(x)在處的值記為，其近似值用表示。設y(x)為初值問題 (2.3.1)的充分光滑的解，可以進行Taylor展開

124、，</p><p>　　當充分小時，略去高階項有</p><p>　　由于是微分方程的解，因此有</p><p><b>　　記，取</b></p><p>　　作為的近似值，再用，取</p><p><b>　　作為的近似值，有</b></p><p&g

125、t;<b>　?。?.3.2）</b></p><p>　　（2.3.2）就是顯式Euler方法。</p><p>　　5.2 模型平衡點的模擬</p><p>　　用顯示Euler方法把系統(tǒng)模型(2.1.1)寫成:</p><p><b>　　（2.3.3）</b></p><

126、p>　　下面模擬系統(tǒng)模型的穩(wěn)定性，我們?nèi)∠到y(tǒng)(2.1.1)的系數(shù)使其滿足定理2.2.4，這樣的話系統(tǒng)(2.1.1)的系數(shù)也滿足定理2.2.1、定理2.2.2和定理2.2.3，那么系統(tǒng)的平衡點和既是全局漸近穩(wěn)定的也是局部漸近穩(wěn)定的，這里把全局穩(wěn)定性和局部穩(wěn)定性統(tǒng)稱為穩(wěn)定性。</p><p>　　假設初始時刻既然要驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，那么初始時刻的取值并不會影響系統(tǒng)最后穩(wěn)定的結果。取 </p>&

127、lt;p>　　這時符合定理2.2.4的條件，系統(tǒng)的平衡點是穩(wěn)定的。經(jīng)過時間的變化觀察，和y的變化情況(圖2.3.1)</p><p>　　至此，用數(shù)值模擬方法驗證了結果，模擬了（2.1.1）的穩(wěn)定性。</p><p><b>　　6 結論</b></p><p>　　在生態(tài)系統(tǒng)中捕食者-食餌系統(tǒng)的定性研究中，線性化的方法和李亞普諾夫第二方

128、法是研究平面系統(tǒng)的平衡點的穩(wěn)定性的有效方法，而張芷芬唯一性定理是生態(tài)系統(tǒng)中證明極限環(huán)唯一存在的主要工具，論文在參考文獻的基礎上，利用上述的基本理論和方法，對具有密度制約且食餌種群有遷移的、具有功能性反應函數(shù)的、具有常數(shù)投放率且具有功能性反應函數(shù)的捕食者-食餌系統(tǒng)進行定性分析。得出了幾方面的成果：</p><p>　　研究了一類具有密度制約的食餌種群有遷移的捕食者-食餌系統(tǒng)，和以往文獻不同的是，經(jīng)典的Lotka-V

129、olterra模型不考慮捕食者與食餌種群的密度制約，考慮到兩種群密度制約的文獻，又沒有考慮到食餌種群的遷移。實際生物群落中，生存條件的變化，對食餌種群的影響要遠遠大于對捕食者種群，食餌種群的遷移是客觀存在的。本文既考慮到兩種群的密度制約，也考慮到食餌種群的遷移，更貼近實際情況。在這個模型基礎上，得到正平衡點局部漸近穩(wěn)定的充要條件，全局穩(wěn)定的充分條件，以及證明了食餌種群的遷入對一個穩(wěn)定的具有密度制約的生態(tài)系統(tǒng)無影響。</p>

130、<p>　　討論一類具有常數(shù)投放率功能反應為的捕食者-食餌系統(tǒng)的定性行為，基于生態(tài)學意義，在參數(shù)條件下，得到了正平衡點全局漸近穩(wěn)定以及正平衡點周圍存在唯一極限環(huán)的充分條件，表明食餌種群捕食者種群均不會滅絕，它們的數(shù)量最終處于一個穩(wěn)定的周期震蕩狀態(tài)，最后利用數(shù)值模擬檢驗了結論。</p><p>　　本課題仍有一些問題有待解決：</p><p>　　(1)物種的多樣性，生物群落的復

131、雜性決定了捕食者，食餌種群不可能只有兩種，多種群生態(tài)系統(tǒng)才更趨向?qū)嶋H。</p><p>　　(2)考慮到許多生物物種季節(jié)性繁殖的特點，以及當種群有不相重疊的后代時，由差分法方程確定的離散模型比連續(xù)模型更能切合實際，也為連續(xù)模型的數(shù)值模擬提供有效的計算模型。對離散的生態(tài)系統(tǒng)的研究也越來越受到生態(tài)數(shù)學工作者的關注。</p><p>　　(3)在種群間相互作用中時滯是不可避免的，因為捕食者當前時

132、刻的出生率與過去時刻捕食者對食餌的捕獲率決定的，在系統(tǒng)中加入時滯，系統(tǒng)能更好的模擬自然界的真實情況，所以考慮具時滯的捕食者-食餌系統(tǒng)是現(xiàn)階段研究的重點。這些問題為我們今后的研究提供了方向，對各個領域的深入研究將會有更大的研究價值。</p><p><b>　　主要參考文獻：</b></p><p>　　[1]Rosenzweig ML,MacArthur R.Grap

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140、lt;/p><p>　　報,2011,24(2):154-158.</p><p>　　[14]沈伯騫,趙文園.一類具有HollingII類功能性反應且兩種群均有密度制約項的捕食系統(tǒng)的討論[J].遼寧師范大學學報,1998,21(1):7-16.</p><p>　　[15]賈建文.具Ⅲ類功能反應的非自治捕食系統(tǒng)的持續(xù)性和周期解[J].生物數(shù)學學報,2001,</

141、p><p>　　16(1):59-62.</p><p>　　[16]葉丹,范猛,張偉鵬.一類捕食者-食餌系統(tǒng)正周期解的存在性[J].生物數(shù)學學報,2004,</p><p>　　19(2):161-168.</p><p>　　[17]Kuang Y.Rich Dynamics of Gause-type Ratio-dependent Pre

142、dator-prey System[J].Fields Institute Communications,1999,21:325-337.</p><p>　　[18]WolkowiczGSK.Bifurcation Analysis of A Predator-prey System Involving Group Defense[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,1

143、988,48:592-606.</p><p>　　[36]關冶，陸金甫.數(shù)值方法[M].北京:清華大學出版社，2006.</p><p>　　[37]陸金甫，關治.偏微分方程數(shù)值解法「M].清華大學出版社，2004.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　大學四年的求學生涯即將結束，在師

144、長、親友的大力支持下，走得辛苦卻也收獲滿囊。首先我要感謝我的導師張燕，他的悉心指導和無私幫助，給了我極大的支持和鼓勵，從而使我能夠順利的完成畢業(yè)論文。她嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、淵博的學識和富有創(chuàng)造性的科研精神也給我極大的啟迪，并將使我終身受益。至此論文完成之際，謹向?qū)煴硎境绺叩木匆夂驼\摯地感謝！ </p><p>　　感謝安徽大學!學校四年來給我提供了良好的學習環(huán)境、便利的實驗條件、完善的后勤服務體系，是我得以順利完成