多元函數(shù)極值及其應(yīng)用.doc

1、<p><b>　　學(xué)士學(xué)位論文</b></p><p>　　論文題目——多元函數(shù)極值及其應(yīng)用</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1函數(shù)極值理論 …………………………………………………………………1 </p><p>　　2 多元函數(shù)極值的應(yīng)用………

2、…………………………………………………13</p><p>　　3多元函數(shù)極值的奇異性………………………………………………………</p><p>　　參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………………</p><p>　　致謝……………………………………………………………………………</p><p><b>　　多元

3、函數(shù)極值及應(yīng)用</b></p><p>　　摘要：本文是有關(guān)函數(shù)極值問題的解決，它由一元函數(shù)極值問題的講解不斷深化到多元函數(shù)并且還講解到函數(shù)極值的應(yīng)用以及奇異性</p><p>　　關(guān)鍵詞：函數(shù)極值:函數(shù)極值應(yīng)用:函數(shù)極值奇異性</p><p>　　Extreme value of function and application</p>

4、<p>　　Abstract：This article is about the function extreme solution by a function extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singular&l

5、t;/p><p>　　Keywords：Function extreme: function extend application</p><p><b>　　一函數(shù)極值理論</b></p><p>　　定義2.1.1設(shè)元函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果對該鄰域內(nèi)任一異于的點(diǎn)都有(或)，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值(或極小值).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使

6、函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).</p><p>　　定義2.2.1函數(shù)在個(gè)約束條件 下的極值稱為條件極值.</p><p>　　3. 多元函數(shù)普通極值存在的條件</p><p>　　定理3.1（必要條件）若元函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，且在該點(diǎn)取得極值，則有 </p><p>　　備注：使偏導(dǎo)數(shù)都為的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).</p>

7、;<p>　　定理3.2（充分條件）設(shè)元函數(shù)在附近具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且為的駐點(diǎn).那么當(dāng)二次型</p><p>　　正定時(shí)，為極小值；當(dāng)負(fù)定時(shí)，為極大值；當(dāng)不定時(shí)，不是極值.</p><p><b>　　記，并記</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　它稱

8、為的階矩陣.對于二次型正負(fù)定的判斷有如下定理：</p><p>　　定理3.3若 ，則二次型是正定的，此時(shí)為極小值；若 ，則二次型是負(fù)定的，此時(shí)為極大值.</p><p>　　特殊地，當(dāng)時(shí)，有如下推論：</p><p>　　推論3.1若二元函數(shù)某領(lǐng)域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 </p><p><b>　　令 </b&

9、gt;</p><p><b>　　則 ①當(dāng)時(shí)，.</b></p><p><b>　?、诋?dāng)時(shí)，沒有極值.</b></p><p>　?、郛?dāng)時(shí)，不能確定，需另行討論.</p><p>　　4．介紹多元函數(shù)條件極值的若干解法</p><p><b>　　4.1代入消

10、元法</b></p><p>　　通過一個(gè)量用其它量代替的方法達(dá)到降元效果，將條件極值化為無條件極值問題來解決一些較為簡單的條件極值問題，這種方法適用于約束函數(shù)較為簡單的條件極值求解，有些條件極值很難化為無條件極值來解決.</p><p>　　例4.1.1求函數(shù)在條件下的極值.</p><p><b>　　解 由 解得，</b>&

11、lt;/p><p>　　將上式代入函數(shù)，得 </p><p><b>　　解方程組 </b></p><p><b>　　得駐點(diǎn) </b></p><p><b>　　，， </b></p><p><b>　　在點(diǎn)處，</b&g

12、t;</p><p><b>　　，所以不是極值點(diǎn)</b></p><p>　　從而函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處無極值；</p><p><b>　　在點(diǎn)處，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又，所以為極小值點(diǎn)&l

13、t;/b></p><p>　　因而，函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處有極小值</p><p><b>　　極小值為.</b></p><p>　　4.2拉格朗日乘數(shù)法</p><p>　　拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法，特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.</p><p

14、>　　求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)組限制下的極值，若及有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Jacobi矩陣</p><p>　　的秩為，則可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.</p><p>　　首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)</p><p><b>　　然后，解方程組</b></p><p>　　從此方程組中解出駐點(diǎn)的坐標(biāo) ，所得駐點(diǎn)是函數(shù)極值的可疑點(diǎn)，

15、需進(jìn)一步判斷得出函數(shù)的極值.</p><p>　　定理4.2.1（充分條件） 設(shè)點(diǎn)及個(gè)常數(shù)</p><p><b>　　滿足方程組 ，</b></p><p><b>　　則當(dāng)方陣 </b></p><p>　　為正定（負(fù)定）矩陣時(shí)，為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲迭c(diǎn)，因此為滿足約束條件的條件

16、極?。ù螅┲?</p><p>　　例4.2.1求橢球在第一卦限內(nèi)的切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的最小體積.</p><p>　　解 此橢球在點(diǎn)處的切平面為</p><p>　　化簡,得 </p><p>　　此平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為：</p><p>　　則此切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體

17、積 </p><p>　　由題意可知，體積存在最小值，要使最小，則需最大；</p><p>　　即求目標(biāo)函數(shù)在條件下的最大值，</p><p>　　其中，拉格朗日函數(shù)為</p><p>　　由 解得;</p><p>　　說明：以上介紹的兩種方法為解多元函數(shù)條件極值的常用方法，但在實(shí)際解題過程中，我們還可

18、以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點(diǎn)選擇其它一些特殊解法來快速解題，如標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法.</p><p>　　4.3 標(biāo)準(zhǔn)量代換法</p><p>　　求某些有多個(gè)變量的條件極值時(shí),我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,稱其余各量為比較量,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來,這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了.如果給定條件是幾個(gè)變

19、量之和的形式,一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.</p><p>　　例4.3.1設(shè),求的最小值.</p><p>　　解 取 為標(biāo)準(zhǔn)量, </p><p><b>　　令 ,</b></p><p>　　則 (為任意實(shí)數(shù)),</p><p><b>　　從而有 </

20、b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí)成立，</p><p><b>　　所以的最小值為.</b></p><p><b>　　4.4 不等式法</b></p><p>　　4.4.1利用均值不等式</p><p>　　均值不等式是常用的不等式，其形式為，<

21、;/p><p>　　這里，且等號(hào)成立的充分條件是.</p><p>　　例4.4.1.1 已知，，求的極小值.</p><p><b>　　解 </b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.</p><p>　　4.4.2利用柯西不等式</p><p>　　柯西不等式：

22、對于任意實(shí)數(shù)和，總有 </p><p>　　,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)與對應(yīng)成比例時(shí)，等號(hào)成立.運(yùn)用柯西不等式，主要是把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形，進(jìn)</p><p>　　而“配、湊”成柯西不等式的左邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值.</p><p>　　例4.4.2.1已知，求的最值.</p><p>　　解 首先將 變形為</p>

23、<p><b>　??；</b></p><p><b>　　再設(shè) ，</b></p><p>　　于是，根據(jù)柯西不等式及已知條件，有</p><p><b>　　即： </b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立；</p><

24、p>　　即當(dāng) 時(shí)，；</p><p><b>　　當(dāng) 時(shí)，，</b></p><p><b>　　所以，，.</b></p><p>　　4.5 二次方程判別式符號(hào)法</p><p>　　例4.5.1若,試求的極值.</p><p><b>　

25、　解 因?yàn)?,</b></p><p><b>　　代入 得</b></p><p>　　即 (1)</p><p>　　這個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解, 必須</p><p><b>　　即 </b></p><p&

26、gt;　　解關(guān)于的二次不等式,得:</p><p>　　顯然,求函數(shù)的極值, 相當(dāng)于求</p><p><b>　　(2)</b></p><p><b>　　或</b></p><p><b>　　(3)</b></p><p><b>　　

27、的極值.</b></p><p>　　由(2)得 (4)</p><p>　　這個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即 </b></p&

28、gt;<p>　　解此關(guān)于的二次不等式,得 .</p><p><b>　　所以 ,.</b></p><p><b>　　把 代入(4),得</b></p><p>　　再把,代入(1),得,</p><p>　　最后把,,代入,得.</p><p>　　所以

29、,當(dāng),,時(shí),函數(shù)達(dá)到極大值3.</p><p>　　同理可得,當(dāng),,時(shí),函數(shù)達(dá)到極小值-3.</p><p>　　也可以從(3)作類似討論得出的極大值3和極小值-3.</p><p><b>　　4.6 梯度法</b></p><p>　　用梯度法求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)時(shí)</p><p>　　組限制

30、下的極值，方程組</p><p>　　的解,就是所求極值問題的可能極值點(diǎn).</p><p>　　其中表示目標(biāo)函數(shù)的梯度向量，</p><p>　　表示條件函數(shù)的梯度向量</p><p>　　例4.6.1 從斜邊之長為的一切直角三角形中,求最大周長的直角三角形.</p><p>　　解:設(shè)兩條直角邊為,本題的實(shí)質(zhì)是求在條

31、件</p><p><b>　　下的極值問題.</b></p><p>　　根據(jù)梯度法,列出方程組 </p><p><b>　　進(jìn)一步求解得 </b></p><p><b>　　容易解出</b></p><p>　　根據(jù)題意是唯一的極大值點(diǎn),也

32、是最大值點(diǎn).</p><p>　　所以，當(dāng)兩條直角邊都為時(shí),直角三角形的周長最大.</p><p><b>　　4.7 數(shù)形結(jié)合法</b></p><p>　　數(shù)形結(jié)合法是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如直線的截距，點(diǎn)到直線的距離，圓的半徑等幾何性質(zhì)決定目標(biāo)的條件極值.</p><p>　　例4.7.1 設(shè)，求的最值.

33、</p><p><b>　　解法一 數(shù)形結(jié)合法</b></p><p><b>　　解 設(shè)</b></p><p>　　則， </p><p><b>　　即</b></p><p>　　表示坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的距離的平方的2倍

34、</p><p>　　顯然最大值為長軸的長38，最小值為</p><p><b>　　解法二 消元法</b></p><p><b>　　解 設(shè) ，，</b></p><p><b>　　則 </b></p><p>　　故當(dāng)，即時(shí)，達(dá)到最小值.<

35、/p><p>　　當(dāng)，即時(shí)，達(dá)到最大值.</p><p>　　解法三 均值不等式法</p><p>　　解 （1）若注意到 </p><p><b>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立</b></p><p><b>　　因此：，</b></p><p><b&

36、gt;　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　故 ，此時(shí)</b></p><p>　　（2）若，設(shè)，則問題變?yōu)榍蟮淖钪?lt;/p><p><b>　　由于，</b></p><p&g

37、t;<b>　　所以</b></p><p><b>　　因此</b></p><p><b>　　即最大值為38</b></p><p>　?。?）若，做變換，則問題轉(zhuǎn)化為（1）</p><p>　?。?）若，則問題轉(zhuǎn)化為（2）</p><p>　　解

38、法四 拉格朗日乘數(shù)法</p><p><b>　　解 設(shè) </b></p><p><b>　　令 </b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　若 ，則，</b></p><p><b&

39、gt;　　此時(shí) ；</b></p><p><b>　　若 ，則，或</b></p><p><b>　　此時(shí)</b></p><p>　　從該題可以看出，用拉格朗日乘數(shù)法和均值不等式法解題過程都比較繁瑣，但通過數(shù)形結(jié)合法和消元法法都可以簡捷地求得結(jié)果.所以在解條件極值問題時(shí)，我們可以先分析題目的特點(diǎn)再選擇最合

40、適的解題方法，從而提高解題效率.</p><p>　　二.多元函數(shù)極值的應(yīng)用</p><p>　　多元函數(shù)條件極值在不等式證明、物理、生產(chǎn)銷售、證券投資分析、多元統(tǒng)計(jì)分析學(xué)里判別分析和主成分分析等問題上都有廣泛的應(yīng)用.由于本人其余學(xué)科知識(shí)和時(shí)間上的限制，不能很好地展開條件極值在證券投資分析和多元統(tǒng)計(jì)分析上的應(yīng)用問題，具體內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]，下面只討論條件極值在不等式證明、物

41、理學(xué)、生產(chǎn)銷售上的應(yīng)用.</p><p><b>　　5.1 不等式證明</b></p><p>　　例5.1.1證明不等式：.</p><p><b>　　證 令，則只需證明</b></p><p>　　函數(shù)在區(qū)域上存在最小值，</p><p><b>　　對于，

42、令，</b></p><p><b>　　得，且當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，.</b></p><p>　　由一元函數(shù)取極值的第一充分判斷法，為最小值點(diǎn)，</p><p>　　即在曲線上取得最小值，</p><p><b>　　最小

43、值.</b></p><p><b>　　故在上，即.</b></p><p>　　5.2 物理學(xué)中光的折射定律證明</p><p>　　例5.2.1設(shè)定點(diǎn)和位于以平面分開的不同光介質(zhì)中，從點(diǎn)射出的光線折射后到達(dá) 點(diǎn)，已知光在兩介質(zhì)中的傳播速度分別為，，求需時(shí)最短的傳播方式.</p><p>　　解 設(shè)到平面

44、的距離為，到平面的距離為，（如圖），</p><p>　　，光線從點(diǎn)射到點(diǎn)所需時(shí)間為，</p><p>　　光線從點(diǎn)射到點(diǎn)所需時(shí)間為</p><p><b>　　且，即</b></p><p>　　問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在條件 </p><p><b>　　下的最小值.</b><

45、;/p><p><b>　　作拉格朗日函數(shù)</b></p><p><b>　　令 </b></p><p>　　由此解得，即光線的入射角與折射角應(yīng)滿足：</p><p>　?。ü獾恼凵涠桑r(shí)光線傳播時(shí)間最短.</p><p><b>　　5.3 生產(chǎn)銷售<

46、;/b></p><p>　　在生產(chǎn)和銷售商品的過程中，銷售價(jià)格上漲將使廠家在單位商品上獲得的利潤增加，但同時(shí)也使消費(fèi)者的購買欲望下降，造成銷售量下降，導(dǎo)致廠家消減產(chǎn)量.但在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，因此銷售量、成本與售價(jià)是相互影響的.廠家要選擇合理的銷售價(jià)格才能獲得最大利潤.</p><p>　　5.3.1 用條件極值得出生產(chǎn)成本最小化方案</p

47、><p>　　例5.3.1.1設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品需要原料A和B，它們的單價(jià)分別為10元、15元，用單位原料A和單位原料B可生產(chǎn)單位的該產(chǎn)品，現(xiàn)要以最低成本生產(chǎn)112單位的該產(chǎn)品，問需要多少原料A和B？</p><p>　　【分析】由題意可知，成本函數(shù).</p><p>　　該問題是求成本函數(shù)在條件下的條件極值問題，</p><p>　　利用拉格朗日常數(shù)

48、法計(jì)算.</p><p><b>　　解 令</b></p><p><b>　　解方程組 </b></p><p>　　這是實(shí)際應(yīng)用問題，所以當(dāng)原料A和B的用量分別為4單位，2單位時(shí)，成本最低.</p><p>　　5.3.2利用條件極值得出利潤最大化方案</p><p

49、>　　例5.3.2.1為銷售產(chǎn)品作兩種方式廣告宣傳，當(dāng)宣傳費(fèi)分別為時(shí)，銷售量是，若銷售產(chǎn)品所得利潤是銷量的減去廣告費(fèi)，現(xiàn)要使用廣告費(fèi)25萬元，應(yīng)如何分配使廣告產(chǎn)生的利潤最大，最大利潤是多少？</p><p>　　解 依題意，利潤函數(shù)為</p><p><b>　　且 </b></p><p><b>　　設(shè) </b

50、></p><p><b>　　令 </b></p><p><b>　　得 </b></p><p>　　依題設(shè)，存在最大利潤，又駐點(diǎn)唯一，因此兩廣告分別投入15萬元和10萬元利潤最大.</p><p>　　例5.3.2.2 一家電視機(jī)廠在對某種型號(hào)電視機(jī)的銷售價(jià)格決策時(shí)面對如下數(shù)據(jù)：

51、</p><p>　　（1）根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)?shù)貙υ摲N電視機(jī)的年需求量為100萬臺(tái)；</p><p>　　（2）去年該廠共售出10萬臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)為4000元；</p><p>　　（3）僅生產(chǎn)1臺(tái)電視機(jī)的成本為4000元；但在批量生產(chǎn)后，生產(chǎn)1萬臺(tái)時(shí)成本降低為每臺(tái)3000元.</p><p>　　問：在生產(chǎn)方式不變的情況下，每年的最優(yōu)銷售價(jià)格是

52、多少？</p><p><b>　　數(shù)學(xué)模型建立如下：</b></p><p>　　設(shè)這種電視機(jī)的總銷售量為，每臺(tái)生產(chǎn)成本為，銷售價(jià)格為，</p><p>　　那么廠家的利潤為 </p><p>　　根據(jù)市場預(yù)測，銷售量與銷售價(jià)格之間有下面的關(guān)系：</p><p>　　這里為市場的最大需求量，

53、是價(jià)格系數(shù)（這個(gè)公式也反映出，售價(jià)越高，銷售量越少）.同時(shí)，生產(chǎn)部門對每臺(tái)電視機(jī)的成本有如下測算：</p><p>　　這里是只生產(chǎn)1臺(tái)電視機(jī)時(shí)的成本，是規(guī)模系數(shù)（這也反映出，產(chǎn)量越大即銷售量越大，成本越低）.于是，問題化為求利潤函數(shù) </p><p>　　在約束條件 下的極值問題.</p><p>　　作Lagrange函數(shù) </p><

54、;p><b>　　就得到最優(yōu)化條件</b></p><p>　　由方程組中第二和第四式得到</p><p><b>　　，即</b></p><p>　　將第四式代入第五式得到 </p><p><b>　　再由第一式知 .</b></p><p

55、>　　將所得的這三個(gè)式子代入方程組中第三式，得到</p><p>　　由此解得最優(yōu)價(jià)格為 </p><p>　　只要確定了規(guī)模系數(shù)與價(jià)格系數(shù)，問題就迎刃而解了.</p><p>　　現(xiàn)在利用這個(gè)模型解決本段開始提出的問題.此時(shí)，.</p><p>　　由于去年該廠共售出10萬臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)為4000元，因此得到</p>

56、<p><b>　　；</b></p><p>　　又由于生產(chǎn)1萬臺(tái)時(shí)成本就降低為每臺(tái)3000元，因此得到</p><p><b>　　.</b></p><p>　　將這些數(shù)據(jù)代入的表達(dá)式，就得到今年的最優(yōu)價(jià)格應(yīng)為</p><p><b>　?。ㄔ?臺(tái)）.</b>&

57、lt;/p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 唐軍強(qiáng).用方向倒數(shù)法求解多元函數(shù)極值[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2008，（15）：246-247</p><p>　　[2] 汪元倫.兩類多元函數(shù)條件極值的簡捷求法[J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，27（2）：14-15.</p><p>　　[3

58、] 陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析.下冊/—2版[M].北京：高等教育出版社，2004.10</p><p>　　[4] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法-北京：高等教育出版社，1993.5</p><p>　　[5] 王延源.條件極值的六種初等解法[J], 臨沂師專學(xué)報(bào), 1999(12):21-24.</p><p>　　[6] 肖翔，許伯生.運(yùn)用梯度法求條件

59、極值[J]，上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究，2006(1): 35-37</p><p>　　[7] 陳傳理，張同君．競賽數(shù)學(xué)教程(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，2004：147</p><p>　　[8] 法博齊．投資管理學(xué)[M].北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，1999</p><p>　　[9] 林德光.《多元統(tǒng)計(jì)教程》[M].華南熱帶作枋學(xué)院印，1988</p