高等數(shù)學(xué)函數(shù)的極值及其求法4

1、函數(shù)的極值及其求法,由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，曲線(xiàn)在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成“峰”、“谷”，函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無(wú)論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論。,一、函數(shù)極值的定義,,,,,,定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).,,,,,二、函數(shù)極值的求法,定理1(必要條件),定義,注意:,例如,,,注,①這個(gè)結(jié)論

2、又稱(chēng)為Fermat定理,②如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒(méi)有駐點(diǎn) 則此函數(shù)沒(méi)有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號(hào),③不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),可疑極值點(diǎn)：駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn),可疑極值點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn)，還須進(jìn)一步判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點(diǎn)的左、右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號(hào)，則問(wèn)題即可得到解決。,定理2(第一充分條件),,,,,,,,,,(是極值點(diǎn)情形),,,,,,,求極值的步驟:,(不是極值點(diǎn)情形),例1,解,列表討論,極大

3、值,極小值,,,圖形如下,定理3(第二充分條件),證,例2,解,圖形如下,注意:,例3,解,注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).,,例4,證,（不易判明符號(hào)）,而且是一個(gè)最大值點(diǎn)，,例5,設(shè)f ( x )連續(xù)，且f ( a )是f ( x )的極值，問(wèn)f 2( a )是否是 f 2( x )的極值,證,分兩種情況討論,①,所以 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的極小值,②設(shè)f ( a ) 是f ( x )的極小值，且

4、,又f ( x )在 x = a 處連續(xù)，且,f 2( a )是 f 2( x )的極大值,同理可討論f ( a ) 是f ( x )的極大值的情況,例6,證,由Taylor公式，得,因此存在x0的一個(gè)小鄰域，使在該鄰域內(nèi),下面來(lái)考察兩種情形,①n為奇數(shù)，當(dāng)x 漸增地經(jīng)過(guò)x0時(shí),變號(hào),不變號(hào),變號(hào),不是極值,②n為偶數(shù)，當(dāng)x 漸增地經(jīng)過(guò)x0時(shí),不變號(hào),不變號(hào),不變號(hào),是極值,是極小值,是極大值,極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小