第七章 多元函數(shù)微分【高等數(shù)學(xué)】

1、第七章多元函數(shù)微分學(xué)一、內(nèi)容分析與教學(xué)建議（一）本章主要是把一元函數(shù)微分學(xué)中一些主要概念、理論和方法推廣到多元函數(shù)，一方面充實(shí)微分學(xué)，另一方面也給工程技術(shù)及自然科學(xué)提供一些處理問題的方法和工具。在教學(xué)方法上，在一元函數(shù)微分學(xué)基礎(chǔ)上，通過類比方法引入新的問題、概念、理論和方法，并注意比較它們的異同。（二）多元函數(shù)、極限、連續(xù)先通過介紹平面點(diǎn)集的幾個基礎(chǔ)概念，引入二元函數(shù)由點(diǎn)函數(shù)再過渡到多元函數(shù)，并引入多元函數(shù)極限，講清它的概念，并指出二元

2、函數(shù)與一元函數(shù)極限點(diǎn)方式的異0PP?同，可補(bǔ)充一些簡單例題給出二元函數(shù)求極限的一些常用方法，如換元化為一元函數(shù)兩邊夾準(zhǔn)則，運(yùn)用連續(xù)性等。在理解極限概念之基礎(chǔ)上，不難得到求一個二元函數(shù)極限不存在之方法，最后可介紹累次極限與重極限之關(guān)系。（三）偏導(dǎo)數(shù)與全微分1、可先介紹偏增量概念，類比一元函數(shù)，引入偏導(dǎo)數(shù)，通過例題說明，偏導(dǎo)與連續(xù)之關(guān)系，在偏導(dǎo)數(shù)的計算中，注意講清分段函數(shù)分界點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)。2、可由測量矩形相鄰邊長計算面積實(shí)例，類比一元函數(shù)的

3、微分，引入全微分的定義，并指出用定義判斷可微，即求極限是)(yxfz????yyxzxyxzzyxyx?????????)()(lim00否為。03、講清教材中全微分存在的必要條件和充分條件，重點(diǎn)指出可微與偏導(dǎo)之關(guān)系，讓學(xué)生理解關(guān)系式之意義，最后可通過列表給出多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)dyyzdxxzdz??????存在、可微之相互關(guān)系。（四）復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)1、可先證明簡單情形的全導(dǎo)數(shù)公式，畫出函數(shù)關(guān)系圖，通過關(guān)系圖中“分線相加，連線相乘”法則

4、推廣至偏導(dǎo)數(shù)或全微分的各種情形，，從)(vufz?)(xu??)(xv??中讓學(xué)生理解口訣的含義。二、補(bǔ)充例題例1.設(shè)，，，其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且)(yxfu???02?zexy?xysin??，求.0???z?dxdu解：分別求偏導(dǎo)數(shù)得：??????????????????????)3(cos)2(02)1(321xdxdydxdzdxdyexdxdzfdxdyffdxdyyzyx???(3)代入（2）3231cos2?????

5、???????yexxdxdy(3)代入（1）??????????????????3231cos2cos????yyyxexxfxffdxdy??2sin13cos2cos??????????xexfxffxzyx例2.設(shè)是由方程，確定的隱函數(shù)，其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，)(yxz0)(??yzxyff求.22xz??解：方程兩邊對求偏導(dǎo)x，0)1(21????????xzyff21fyfxz???????22222112121122)1(