第七章(微分方程-3)

1、1第七章第七章常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法1引言引言1、一階常微分方程初值問(wèn)題、一階常微分方程初值問(wèn)題（微分方程加初值條件）(1)???????00)()(yxybxayxfy特征：特征：為已知的二元函數(shù)，只有一個(gè)變?cè)挥幸粋€(gè)變?cè)浑A導(dǎo)數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)，要求，要求滿足微分)(yxfxdxdyy?方程且過(guò)點(diǎn)的曲線，一個(gè)未知函數(shù)一個(gè)未知函數(shù)（微分方程的解函數(shù)）（微分方程的解函數(shù)）。)(00yx)(xyy?2、解的存在性、解的存在性

2、若連續(xù)且對(duì)滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)，使對(duì)，有)(yxfy0?LRyy??21，則初值問(wèn)題(1)的解存在唯一，本章均假設(shè)對(duì)滿足2121)()(yyLyxfyxf???)(yxfyLipschitz條件。3、數(shù)值解法、數(shù)值解法問(wèn)題：求問(wèn)題：求精確解精確解（解析表達(dá)式）極其困難，實(shí)際應(yīng)用中只要求數(shù)值解。（解析表達(dá)式）極其困難，實(shí)際應(yīng)用中只要求數(shù)值解。)(xyy?數(shù)值解：數(shù)值解：在取一系列等距離散節(jié)點(diǎn)，步長(zhǎng)][ba????????

3、?1210nnxxxxx，求的近似值。?101????nxxhnn)(nxyny0xhxx??01hxx202??…nhxxn??0hnxxn)1(01????…)(0xy)(1xy)(2xy…)(nxy)(1?nxy…＝≈≈…≈≈…0y1y2y…ny1?ny…方法方法：建立的遞推公式，，從而按節(jié)1??nnyy00)(yxy???110?????nnyyyy點(diǎn)排列順序（步進(jìn)式步進(jìn)式）。3Euler法：法：)1(1??????nnnnxy

4、hyy1.01.09.0)1(???????nnnnxyhhxyh時(shí)，.0?n00000.11.01.09.0001????xyy隱式隱式Euler法：法：)1(111????????nnnnxyhyy解出)11.01.0(1.11)(1111?????????nnnnnxyhhxyhy當(dāng)時(shí)，0?n00901.1)11.01.0(1.11001????xyy梯形法：梯形法：)]()([2111??????nnnnnnyxfyxfhyy)

5、]1()1[(2111????????????nnnnnnxyxyhyy解出]2)()2[(211hhxxhyhhynnnn????????)21.02.09.1(1.21???nnxy當(dāng)時(shí)，0?n004762.1)21.09.1(1.211???y改進(jìn)改進(jìn)Euler法:))](()([211nnnnnnnnyxhfyxfyxfhyy??????即]1)1()1[(211??????????????nnnnnnnnxxyhyxyhyy)

6、2)2((22)1(]2)2(1[hhhxhxhhyhhnnn????????1.0095.0905.0???nnxy當(dāng)時(shí)，0?n005000.11.0095.0905.0001????xyy精確解：精確解：，(梯形法效果最好，改進(jìn)梯形法效果最好，改進(jìn)Euler較好：具有相同的誤差數(shù)量級(jí)，其它不較好：具有相同的誤差數(shù)量級(jí)，其它不xexxy???)(好!)0xEuler法ny隱式隱式Euler法ny梯形法梯形法ny改進(jìn)改進(jìn)Euler法ny

7、精確解精確解)(nxy0.11.0000001.0090911.0047621.0050001.0048370.21.0100001.0264461.0185941.0190251.0197310.31.0290001.0513151.0406331.0412181.0408180.41.0561001.0830141.0700971.0708021.0703200.51.0904901.1209221.1062781.1070761.

8、1065312、隱式法、隱式法的計(jì)算（的計(jì)算（Euler法及梯形法）法及梯形法）1?ny方法方法1：顯示化（：顯示化（對(duì)線性時(shí)，以線性時(shí)，以為未知量的一元線性方程，見上例）為未知量的一元線性方程，見上例）fy1?ny方法方法2：迭代法（：迭代法（對(duì)非線性時(shí)，可看作一個(gè)關(guān)于非線性時(shí)，可看作一個(gè)關(guān)于方程，利用迭代法求解方程，利用迭代法求解）fy1?ny1?nyEuler法：法：（1）?10)(111??????nyxhfyynnnn（以為未