多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用歸納總結(jié)

1、1第八章第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、多元函數(shù)的基本概念一、多元函數(shù)的基本概念1、平面點集，平面點集的內(nèi)點、外點、邊界點、聚點，多元函數(shù)的定義等概、平面點集，平面點集的內(nèi)點、外點、邊界點、聚點，多元函數(shù)的定義等概念2、多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的極限?（或（或）的）的定義定義00()()lim()xyxyfxyA??0lim()PPfxyA??????掌握判定多元函數(shù)極限不存在的方法：掌握判定多元函數(shù)極限不存在的方

2、法：（1）令）令沿趨向趨向，若極限值與，若極限值與k有關(guān)，則可斷言有關(guān)，則可斷言()Pxyykx?00()Pxy函數(shù)極限不存在；函數(shù)極限不存在；（2）找兩種不同趨近方式，若）找兩種不同趨近方式，若存在，但兩者不相等，存在，但兩者不相等，00()()lim()xyxyfxy?此時也可斷言極限不存在。此時也可斷言極限不存在。?多元函數(shù)的極限的運(yùn)算法則（包括和差積商，連續(xù)函數(shù)的和差積商，多元函數(shù)的極限的運(yùn)算法則（包括和差積商，連續(xù)函數(shù)的和差積

3、商，等價無窮小替換，夾逼法則等）與一元類似：等價無窮小替換，夾逼法則等）與一元類似：例1用用定義證明定義證明???2222()(00)1lim()sin0xyxyxy????例2（03年期末考試年期末考試三、三、1，5分）當(dāng)分）當(dāng)時，函數(shù)時，函數(shù)00??xy的極限是否存在？證明你的結(jié)論。的極限是否存在？證明你的結(jié)論。222222()????xyxyxy例3設(shè)，討論，討論是否存在？是否存在？2222220()00xyxyxyfxyxy??

4、?????????()(00)lim()xyfxy?例4（07年期末考試年期末考試一、一、2，3分）設(shè)分）設(shè)，討論，討論22224220()00???????????xyxyxyfxyxy是否存在？是否存在？()(00)lim()?xyfxy3如果極限如果極限存在，則有存在，則有00000()()limyfxyyfxyy??????0000000000000()()()limxxyyyyyxxxxyyyyfxyyfxyzfzfxyyyy

5、????????????????????對于分段函數(shù)，在分界點的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求。對于分段函數(shù)，在分界點的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求。例1（08年期末考試年期末考試一、一、3，4分）已知分）已知，22222222()0()00????????????xyxyxyxyfxyxy則(0)?xfy例2（06年期末考試年期末考試十一，十一，4分）試證分）試證在點在點22224220()00???????????xyxyxyfxyxy(00)不連續(xù)，但存在

6、一階偏導(dǎo)數(shù)。不連續(xù)，但存在一階偏導(dǎo)數(shù)。例3設(shè)，求，求。222222221()sin0()00xyxyxyfxyxy????????????()()xyfxyfxy例4設(shè)，求，求。yxz?yxzz例5（03年期末考試，一、年期末考試，一、2，3分）分）設(shè)，則，則在(12)(1)arcsinxuxyy???ux??的值為（的值為（）。2、二元函數(shù)二元函數(shù)關(guān)于關(guān)于的高階偏導(dǎo)數(shù)（二元以上類似定義）的高階偏導(dǎo)數(shù)（二元以上類似定義）()zfxy?x