三角曲線與孤子方程的代數(shù)幾何解.pdf

1、偏微分方程的求解是一個在理論和實際應用上都十分重要的研究課題,特別是顯式解的給出為方程的各種性質的討論提供了強大的工具.另外,尋找孤子方程的代數(shù)幾何解具有重要的意義,它不僅可以揭示解的內在結構,描述非線性現(xiàn)象的擬周期行為,還可以約化出孤子解、周期解、橢圓函數(shù)解等.在可積系統(tǒng)的理論中,代數(shù)幾何方法提供了求周期解和擬周期解的有效途徑,這些解可以借助Riemann面上的θ函數(shù)顯式給出.
　　 本文主要借助于代數(shù)幾何方法來求解幾個著名的

2、與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系的孤子方程族,給出它們的代數(shù)幾何解.文中詳細討論的與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系的孤子方程族分別是Hirota-Satsuma修正Boussinesq方程族,Mikhailov-Shabat-Sokolov方程族,Sawada-Kotera方程族和混合Boussinesq方程族.
　　 首先引入Lenard遞推方程,由此經(jīng)零曲率方程構造與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系的孤子方程族.接著,借助于定態(tài)方程的Lax矩陣的特征

3、多項式,定義一條算數(shù)虧格為m-1的m次三角曲線,其緊致化產(chǎn)生一個三葉Riemann面,并給出定態(tài)的Baker-Akhiezer函數(shù)和相應的亞純函數(shù).隨著橢圓坐標的引入,定態(tài)方程被分解成可解的Dubrovin-type常微分方程組.然后,構造三類Abel微分,通過研究三類Abel微分和Bakcr-Akhiczer函數(shù)與亞純函數(shù)的漸近性質,利用代數(shù)幾何方法得到定態(tài)的Baker-Akhiczer函數(shù)和亞純函數(shù),尤其是整個方程族的位勢的顯式Ri