三角代數(shù)上若干映射的研究.pdf

1、算子代數(shù)理論產(chǎn)生于20世紀(jì)30年代，隨著這一理論的迅速發(fā)展，現(xiàn)在這一理論已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱門分支。它與量子力學(xué)，非交換幾何，線性系統(tǒng)，控制理論，數(shù)論以及其他一些重要數(shù)學(xué)分支都有著出人意料的聯(lián)系和互相滲透。為了進(jìn)一步探討算子代數(shù)的結(jié)構(gòu)，近年來，國內(nèi)外諸多學(xué)者對算子代數(shù)上的映射進(jìn)行了深入的研究，并不斷提出新思路，如模線性映射，可交換映射，函數(shù)恒等式等概念的引入，目前這些映射已成為研究算子代數(shù)不可或缺的工具。其中三角代數(shù)是一類重要的非自

2、伴非素的算子代數(shù)，上三角矩陣代數(shù)和套代數(shù)均屬于這一類代數(shù)。本文在已有結(jié)論基礎(chǔ)上主要研究了三角代數(shù)上的非線性可交換映射一模線性可交換映射，Jordan導(dǎo)子，廣義Jordan導(dǎo)子，套代數(shù)上的σ-雙導(dǎo)子和σ-可交換映射，廣義內(nèi)σ-雙導(dǎo)子和廣義σ-可交換映射及Lie三重同構(gòu)。具體內(nèi)容如下： 第一章主要介紹了本文要用到的一些符號、定義以及本文要用到的一些已知結(jié)論和定理。第二節(jié)我們主要介紹三角代數(shù)，套代數(shù)，模線性映射，真可交換映射，Jord

3、an導(dǎo)子，σ-雙導(dǎo)子，Lie三重同構(gòu)等概念。第三節(jié)主要介紹了一些熟知的命題和定理。 第二章主要討論了三角代數(shù)上的非線性可交換映射-模線性可交換映射，通過刻畫此類映射的具體形式，給出了三角代數(shù)上模線性可交換映射是真可交換映射的一個(gè)充分條件。作為應(yīng)用，證明了套代數(shù)上的每一個(gè)模線性可交換映射都是真可交換映射。 第三章首先研究了三角代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子，得到了三角代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子的結(jié)論。接著討論了三角代數(shù)上的廣

4、義Jordan導(dǎo)子，證明了三角代數(shù)上的每一個(gè)廣義Jordan導(dǎo)子是導(dǎo)子與廣義內(nèi)導(dǎo)子之和。 第四章首先對套代數(shù)上的σ-雙導(dǎo)子和σ-可交換映射進(jìn)行了討論，證明了當(dāng)dim0+≠1或dimH±≠1時(shí)，套代數(shù)r(N)上的每一個(gè)σ-雙導(dǎo)子都是內(nèi)σ-雙導(dǎo)子。作為應(yīng)用，給出了滿足條件f(X)X=σ(X)f(X)的線性映射f的形式。其次討論了套代數(shù)上的廣義內(nèi)σ-雙導(dǎo)子和廣義σ-可交換映射，證明了當(dāng)dim0+≠1且dimH ≠1時(shí)，套代數(shù)r(N)上

5、的每一個(gè)廣義內(nèi)σ-雙導(dǎo)子都具有形式φ(X，Y)=σ(X)AY+σ(Y)CX。作為應(yīng)用，給出了滿足條件f(X)X=σ(X)g(X)的線性映射f，g的形式。 第五章研究了套代數(shù)上的Lie三重同構(gòu)，證明了套代數(shù)上的每一個(gè)Lie三重同構(gòu)L：r(N)→r(M)都具有形式L(x)=θ(x)+h(x)，其中θ是同構(gòu)或負(fù)的反同構(gòu)，h是r(N)→CI的映射，使得對任意的A，B，C ∈r(N)有h([[A，B]，C])=0。同時(shí)，給出了一個(gè)是Lie