基于對數(shù)均值回復(fù)模型的VIX建模.pdf

1、自從2004年3月26日芝加哥期權(quán)交易所(CBOE)專門成立期貨交易所CFE(CBOE Future Exchange)并開始交易基于S&P500波動率指數(shù)VIX的期貨，過去幾年中波動率已經(jīng)被交易員、投資者和基金經(jīng)理廣泛接受為一種資產(chǎn)類型，并用于投資、分散和對沖資產(chǎn)組合中的集中度和尾部風(fēng)險。2006年2月24日，CBOE又推出了基于VIX指數(shù)的的期權(quán)?，F(xiàn)在，VIX期權(quán)已經(jīng)成為CBOE交易最為活躍的期權(quán)系列。
　　本論文主要工作在于

2、對VIX指數(shù)進行獨立建模。部分文獻中對VIX采用一致性建模方法。該方法以S&P500指數(shù)(SPX)和它的隨機波動率建模為起點，并且基于這個動態(tài)模型根據(jù)VIX的定義得到VIX表達式，從而可以基于這個表達式對VIX期貨和VIX期權(quán)進行定價。與文獻中VIX指數(shù)的一致性建模方法不同，獨立建模方法直接指定VIX指數(shù)的動態(tài)過程，并基于這個動態(tài)過程對VIX衍生品進行定價。
　　雖然文獻中有關(guān)于對數(shù)均值回復(fù)VIX模型（MRLR）的研究，目前尚未有

3、文獻考慮具有隨機波動率的MRLR模型用于刻畫VIX期權(quán)市場中的正向波動率偏斜。文獻中也沒有比較基于純粹擴散的MRLR模型與考慮跳擴散和/或隨機波動率的MRLR模型的優(yōu)劣。而且，大部分現(xiàn)有文獻注重推導(dǎo)VIX期貨和期權(quán)的靜態(tài)定價公式，而沒有研究VIX期貨的動態(tài)性質(zhì)、VIX期貨和VIX期權(quán)的校正與對沖策略，以及從遠期方差互換到VIX期貨的凸度調(diào)整。其中，遠期方差互換可以用流動性很高的方差互換進行復(fù)制，并且能夠用于估計MRLR模型中的波動率的波

4、動率（vol-of-vol）參數(shù)。
　　本文考慮了四個對數(shù)均值回復(fù)的VIX模型。第一個模型是純粹基于擴散的的VIX模型，并且稱為MRLR模型。之后，本文將這個基本的MRLR模型推廣到包含泊松跳或隨機波動率，從而得到推廣后的MRLRJ模型和MRLRSV模型。最后，本文在VIX指數(shù)動態(tài)過程中同時考慮泊松跳和隨機波動率，并得到一個最全面的MRLRSVJ模型。
　　對于這四個模型，本文推導(dǎo)了它們的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)或者條件特征函數(shù)。基

5、于這些結(jié)果，本文推導(dǎo)了VIX期貨和VIX期權(quán)的定價公式。為了能夠很好的擬合VIX期貨期限結(jié)構(gòu)，本文假設(shè)VIX動態(tài)過程的長期均值是時變函數(shù)，并且用這個函數(shù)來擬合VIX期貨期限結(jié)構(gòu)。此外，擴散、泊松跳和隨機波動率的參數(shù)被用于擬合VIX隱含波動率曲面。
　　本文建議了兩種參數(shù)校正方法。對于MRLR形式的VIX模型，參數(shù)校正的第一個階段是對VIX指數(shù)或者VIX期貨中波動率的波動率(vol-of-vol)的擬合，從而決定vol-of-vol

6、的擴散、泊松跳和隨機波動率參數(shù)可以被估計出來。這個校正階段的第一種方法是用這些參數(shù)擬合VIX隱含波動率曲面。第二種方法是將這些參數(shù)用于擬合遠期方差互換中的VIX凸度。之所以擬合遠期方差互換，是因為它包含VIX指數(shù)和VIX期貨的的凸度并且方差互換市場的流動性非常高?；诘谝浑A段的參數(shù)擬合，VIX指數(shù)的長期均值函數(shù)可以用于擬合VIX期貨的期限結(jié)構(gòu)。
　　除了VIX期貨和VIX期權(quán)的靜態(tài)定價公式，本文還推導(dǎo)了VIX期貨的動態(tài)過程。本文的

7、結(jié)論指出，MRLR模型下VIX期貨服從一個幾何布朗運動，MRLRJ模型下VIX期貨服從跳擴散模型，MRLRSV模型下VIX期貨服從隨機波動率模型，以及MRLRSVJ模型下VIX期貨服從隨機波動率跳擴散模型。
　　本文還推導(dǎo)了基于對數(shù)均值VIX模型下的VIX期貨與期權(quán)對沖策略。由于VIX指數(shù)本身不是可交易資產(chǎn)，投資者不能直接建立該指數(shù)的交易頭寸。文獻中的研究結(jié)果指出，較短期限的VIX期貨對下一個期限的VIX期貨的走勢具有很好的預(yù)測能

8、力。因此，用較短期限的VIX期貨對沖較長期限的VIX期貨是一個非常自然的對沖策略并可以期待這個策略表現(xiàn)較好。此外，VIX期權(quán)作為基于VIX指數(shù)的期權(quán)，它也可以視為基于具有同樣期限的VIX期貨的期權(quán)。從而，用較短期限的VIX期貨合約對沖較長期限的VIX期權(quán)合約也是非常自然的對沖策略。本文中推導(dǎo)了基于上述對沖策略的VIX期貨與VIX期權(quán)的對沖公式。
　　最后，本文用數(shù)值分析比較四個模型對VIX隱含波動率曲面的擬合效果。文中結(jié)果指出,M