非線性折疊孤波和周期傳播波模式研究.pdf

1、高維非線性系統(tǒng)的非線性激發(fā)模式、復雜非線性波的研究是當前非線性孤子理論、波動理論和非線性動力學研究的重要課題.自然界中存在的各種非線性折疊現(xiàn)象，周期波形態(tài)需要我們從非線性波動模型中尋求更合理的理論詮釋.本論文主要以源于實際水波和其他物理問題的2+1維非線性波動模型(方程)為研究對象，深入研究了它們的求解問題，揭示出豐富的非線性折疊孤波和周期傳播波模式，并運用解析和圖示方法對其非線性特性進行了探討.本論文的主要工作及其研究成果可以分為三部

2、分概述如下： 第一部分，本文將近年來發(fā)展的多線性分離變量方法、Painlevé截斷展開法、廣義的形變映射方法等分別推廣應用到多個2+1維非線性波動模型，如2+1維長短波共振相互作用方程Maccari系統(tǒng)、廣義NNV方程、2+1維KdV方程、HBK方程，2+1維變系數(shù)BK方程等，獲得他們的分離變量解?；?+1維非線性分離變量解，選擇適當?shù)膯沃岛投嘀岛瘮?shù)，獲得了豐富的非線性單值和多值局域激發(fā)模式，特別是多值折疊孤立波激發(fā)。

3、 在2+1維分離變量解中選擇適當?shù)牡膯沃捣蛛x變量函數(shù)，構造了2+1維非線性波動模型多種單值相干孤子結構如Dromion，Dromion格子，Solitoff，2-Solitoff，靜止和運動呼吸子、瞬子、Compacton、Peakon等；考察了一些典型的非線性激發(fā)模式間如Compacton和Compacton，Peakon和Peakon，線孤子和y-周期孤子，Dromion和Dromion，Dromion和Solitoff之間等相互作

4、用行為，發(fā)現(xiàn)其相互作用可以彈性的也可以是非彈性的，揭示了多樣奇異而重要的非線性特性。 在2+1維分離變量解中引入適當?shù)亩嘀岛瘮?shù)，構造出多種復雜的多值局域折疊孤立波形態(tài)，如蠕蟲狀折疊孤波、繩結型折疊孤波、帳篷式折疊孤波、蠕蟲狀Solitoff折疊孤波，蠕蟲狀dromion折疊孤波等.折疊孤波在所有方向都呈多值局域折疊形態(tài)，折疊子相互作用為彈性碰撞.分析了兩類不同分離變量解基礎上的局域激發(fā)模式的漸進行為，給出了折疊孤波漸進演化行為的

5、一般特點以及折疊孤波相互作用為彈性的相移條件，并具體研究了折疊孤波的彈性相互作用行為(折疊子)。在2+1維分離變量解中引入多值函數(shù)和不同單值函數(shù)，得到了多種半折疊孤波激發(fā)，如鐘狀半折疊圈孤子、Compacton半折疊圈孤子、Peakon半折疊圈孤子等.半折疊孤子在一個方向上多值圈孤子折疊，而在另一方向上非線性單值局域.半折疊孤子之間的非線性相互作用是彈性，而半折疊孤子與單值局域孤子、半折疊孤子與折疊孤子以及更復雜的半折疊孤子、折疊孤子、

6、單值局域相干孤子之間等多值和單值非線性激發(fā)模式間的相互作用是非彈性的，呈現(xiàn)出多樣的非線性特性。這些研究展示了豐富多姿的多值局域折疊激發(fā)形態(tài)，為進一步了解和研究自然界的各種復雜非線性多值折疊現(xiàn)象奠定了基礎。第二部分，本文拓展和推廣了新近發(fā)展的幾種典型的直接代數(shù)方法和基于分離變量解的間接方法，獲得多個2+1維非線性波動模型豐富的雅克比橢圓函數(shù)雙周期波解和周期傳播波模式，并得到長波極限情形下存在的非線性孤立波。 發(fā)展和應用Hirota

7、雙線性-θ函數(shù)方法，雅克比橢圓函數(shù)展開法，線性疊加法，F(xiàn)-函數(shù)展開法等分別求解2+1維2DsG方程，耦合ZK方程，2+1維：KdV方程，2+1維長波短波共振相互作用方程，2+1維色散長波方程，獲得豐富的雅克比橢圓函數(shù)雙周期波解，描述了一些周期波形態(tài)及周期特性.長波極限下即橢圓函數(shù)模量m→1時，一些橢圓函數(shù)波退化得到相應的非線性孤立波解，如鐘形孤波，單扭結孤波，馬鞍型雙扭結孤波，線孤子等.此外，還將橢圓函數(shù)展開方法拓展應用到離散差分非線性

8、系統(tǒng)，獲得了離散AL方程的周期波解和離散孤子，并揭示了亮、暗離散孤子的非線性特性。 從2+1維分離變量通解出發(fā)，引入適當?shù)难趴吮葯E圓函數(shù)如雅克比正弦、余弦函數(shù)，雅克比第三橢圓函數(shù)及其倒數(shù)函數(shù)等，得到(2+1)維HBK方程和Maccari所得孤子方程的多種周期傳播波，揭示了不含復變量和含復變量的兩類非線性波動模型的周期傳播波特性。這些橢圓函數(shù)波隨著橢圓函數(shù)模量的變化呈現(xiàn)出不同的形態(tài)，可以是周期振蕩波，也可以是Drmion格子，多P

9、eakon激發(fā)形態(tài)等，長波極限下，可以退化為單值局域Dromions、多Lumps激發(fā)模式.橢圓函數(shù)傳播波之間的相互作用是非彈性的，而在長波極限下相應相干孤子激發(fā)Dromion，Lumps之間的相互作用可以是彈性的，也可以是非彈性的.此外，我們還構造了在雅克比橢圓函數(shù)波背景下的Dromion孤子，這種新的復合波形態(tài)與海洋中發(fā)生的畸形極值波極其類似。 第三部分，本文從2+1維分離變量通解出發(fā)，提出了構造一種新非線性波即周期折疊波的

10、簡單方法。獲得了的2+1維HBK方程和2+1維KdV方程的周期折疊波。我們基于2+1維非線性分離變量解，引入適當?shù)亩嘀岛瘮?shù)和雅克比橢圓如雅克比橢圓正弦、余弦函數(shù)等，得到蠕蟲狀、帳篷狀等多種復雜非線性周期折疊波。周期折疊波在一個方向上呈多值圈孤子折疊，而在另一方向上為單值周期振蕩波，數(shù)學解析上可以視為特殊的半折疊波形態(tài)。周期折疊波的非線性相互作用是完全彈性的，在長波極限下退化為單折疊孤立波，相應折疊孤立波的非線性相互作用也是完全彈性的，除