雙曲空間上等距子群的離散性與四點(diǎn)對(duì)的?？臻g.pdf

1、雙曲幾何和Klein群在低維拓?fù)?，?dòng)力系統(tǒng)，黎曼幾何等學(xué)科中有著重要的應(yīng)用.Poincaré，F(xiàn)ricke和Klein對(duì)Klein群理論的發(fā)展始于十九世紀(jì)末.1960后，隨著擬共形理論的成熟，L.V.Ahlfors和L.Bers使得Klein群理論成為復(fù)分析中Teichmüller理論分支中一個(gè)活躍的領(lǐng)域.然后，在1980前后，W.P.Thurston革命性地發(fā)展了雙曲幾何和Klein群理論，使得雙曲流形和Klein群理論吸引了眾多拓?fù)?/p>

2、學(xué)家的注意.現(xiàn)在，Klein群已經(jīng)獲得了巨大的發(fā)展.例如，L.V.Ahlfors提出了有限生成Klein群的零測(cè)度猜想；G.D.Mostow建立了高維有限體積雙曲流形的剛性定理；D.P.Sullivan研究了Klein群作用在雙曲空間邊界上的動(dòng)力行為；W.P.Thurston討論了三維流形的分類及曲面葉狀結(jié)構(gòu)的分類. 在Poincaré等人發(fā)展Fuchs群和Klein群理論的同時(shí)，Picard也對(duì)復(fù)雙曲Klein群進(jìn)行了研究.盡

3、管在Picard之后，又有G.Giraud和E.Cartan等人作了一些很重要的工作，但是復(fù)雙曲幾何的理論并沒有像實(shí)雙曲幾何理論那樣得到快速的發(fā)展.在S.Chen，L.Greenberg關(guān)于對(duì)稱空間和G.D.Mostow關(guān)于復(fù)雙曲空間的非算術(shù)格的構(gòu)造的工作之后，復(fù)雙曲離散子群的興趣才被重新激發(fā)起來(lái).許多著名數(shù)學(xué)家開始進(jìn)行復(fù)雙曲幾何的研究，其中W.M.Goldman，R.Schwartz，J.R.Parker，E.Falbel等都在復(fù)Kl

4、ein群方面做了許多非常重要的工作. 本文的主要目的是討論復(fù)雙曲空間和實(shí)雙曲空間上等距離散子群的性質(zhì)和復(fù)雙曲空間及其邊界上四點(diǎn)對(duì)的模空間，其中三個(gè)點(diǎn)在復(fù)雙曲空間的邊界上而另一點(diǎn)在復(fù)雙曲空間空間中.我們主要得到了如下結(jié)果： 1.我們討論了一個(gè)生成元為正則橢圓的二元生成復(fù)雙曲群是離散群的必要條件，建立了相應(yīng)的Jorgensen不等式，當(dāng)正則橢圓元素固定Lagrangian平面且具有實(shí)跡時(shí)，我們用此正則橢圓元素的跡及不動(dòng)點(diǎn)刻畫

5、了Jorgensen不等式. 2.利用Klein-Maskist組合定理和橢圓元素所固定的復(fù)線或點(diǎn)之間的距離，我們得到了兩個(gè)橢圓元素生成離散自由群的充分條件.類似的，我們也得到了兩個(gè)拋物元素生成離散自由群的充分條件. 3.我們討論了復(fù)雙曲等距群n維子群的離散準(zhǔn)則，利用恒等元素位于PU(1，n)中分別由斜駛元素和正則橢圓元素所構(gòu)成的兩個(gè)開集的邊緣的事實(shí)及PU(1，n)中的n-維子群在PU(1，n)中要么離散，要么稠密的性質(zhì)

6、.我們得到了三個(gè)關(guān)于PU(1，n)中n-維子群的離散準(zhǔn)則. 4.上個(gè)世紀(jì)九十年代，J.W.Anderson提出了兩個(gè)具有相同軸集合的有限生成的n維Klein群是否共約的公開問題.我們構(gòu)造了一個(gè)反例說明了此問題的回答一般是否定的，并給出了具有相同軸集合的n維Klein群共約的充分條件. 5.我們研究了一點(diǎn)位于復(fù)雙曲空間內(nèi)部，三點(diǎn)位于復(fù)雙曲空間邊界上四點(diǎn)對(duì)的?？臻g，其中這四點(diǎn)是不同的點(diǎn).利用Cantan角不變量和復(fù)交比我們構(gòu)