閔可夫斯基空間中的時向極值曲面若干問題的研究.pdf

1、在此博士論文中,我們主要關(guān)心弦理論及粒子物理中的一個重要模型-閔可夫斯基空間中的時向極值曲面的一些分析問題.對于閔可夫斯基空間中時向極值曲面方程初值問題、混合初邊值問題的經(jīng)典解的整體存在唯一性及整體解的漸近性態(tài)進行了研究。由于物理及力學(xué)領(lǐng)域的需要及其它應(yīng)用領(lǐng)域的相關(guān)研究的發(fā)展,很多時候所考察的問題最終歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題來解決。閔可夫斯基空間的時向極值曲面作為弦理論及粒子物理中的一個重要而非平凡的模型,在數(shù)學(xué)上對其進行相應(yīng)的研究就顯得較為

2、重要。它還在流體力學(xué)、電磁場理論及黑洞理論中起一定的作用。閔可夫斯基空間中的時向極值曲面能夠很好的刻畫閔可夫斯基空間中的相對論弦的運動,這就更使得我們對該方程進行系統(tǒng)的研究。時向極值曲面方程可以通過其面積泛函的Euler-Lagrange方程得到,為一維守恒律方程組的形式。
　　所以我們用考察擬線性雙曲組的相關(guān)方法,對閔可夫斯基空間R1+(1+n)中的時向極值曲面方程的相關(guān)問題(初值問題(Cauchyproblem)、混合初邊值問

3、題(Mixedinitialboundaryvalueproblem,包括第一類(Dirichletproblem)、第二類(Neumannproblem)及Robin初邊值問題))的整體經(jīng)典解的存在唯一性及經(jīng)典解的漸近性態(tài)給出了一些有意義的結(jié)論。另一方面,閔可夫斯基空間中高維時向極值曲面的研究在幾何及物理意義上的理解相應(yīng)理論也起著重要的意義。
　　全文的結(jié)構(gòu)安排如下:
　　第一章概要地介紹了閔可夫斯基空間的極值曲面方程有關(guān)

4、問題的歷史發(fā)展和研究進展,前人在處理與本文相關(guān)的一些偏微分方程(擬線性雙曲型方程組)方面的相關(guān)工作及研究整體經(jīng)典解及解的漸近性態(tài)的方法。進一步我們對閔可夫斯基空間中時向極值曲面方程相關(guān)問題的提法,處理上的大體思路給出簡要說明。同時還簡單陳述了本文的主要結(jié)果。
　　第二章在具有線性退化特征的對角型的擬線性雙曲型方程組初值問題整體經(jīng)典解存在的基礎(chǔ)上,考慮其經(jīng)典解的漸近性態(tài)問題。在經(jīng)典解整體存在的基礎(chǔ)上,在初值及其一階導(dǎo)數(shù)的L1∩L∞模

5、有界假設(shè)條件下,我們證明了,當(dāng)時間t趨向于正無窮大時,整體經(jīng)典解趨向于一組C1行波解的線性組合。作為該結(jié)論的一個重要的應(yīng)用,我們將該結(jié)論應(yīng)用到閔可夫斯基空間中的時向極值曲面方程的相應(yīng)問題上,得到了整體經(jīng)典解的存在唯一性及經(jīng)典解的漸近性態(tài)。
　　第三章研究了閔可夫斯基空間R1+(1+n)中的時向極值曲面方程在半無界區(qū)域內(nèi)的混合初邊值問題。在初值有界且邊值適當(dāng)小的假設(shè)條件下,我們得到該方程在半無界區(qū)域內(nèi)混合初邊值問題的C2經(jīng)典解的整體

6、存在性及唯一性。進一步在整體經(jīng)典解存在的基礎(chǔ)上,在邊值適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下,我們給出了,當(dāng)時間t趨向于正無窮大時,解的一階導(dǎo)數(shù)趨向于一組C1行波解。從幾何角度上看,這意味著該極值曲面趨向于一個廣義的圓柱;同時,該行波解也為極值曲面方程的精確解。在第三章的基礎(chǔ)上,我們繼續(xù)研究了閔可夫斯基空間R1+(1+n)中的時向極值曲面方程在區(qū)域R+×[0,1]上的混合初邊值問題。在邊值具有某種意義下小且衰減的假設(shè)條件下,我們得到了該問題經(jīng)典解的整體存在唯