受擾離散邊值問題特征值的誤差估計(jì).pdf

1、隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展和數(shù)字化計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，出現(xiàn)了很多差分系統(tǒng)，并且對差分系統(tǒng)的研究也受到人們越來越多的關(guān)注（見[1-3，9-23，25-26，30-50]及其參考文獻(xiàn)）差分系統(tǒng)的出現(xiàn)有其實(shí)際的應(yīng)用背景.眾所周知，連續(xù)系統(tǒng)通常用微分系統(tǒng)來描述，但有些系統(tǒng)（如采樣系統(tǒng)）卻不能用微分系統(tǒng)來描述，而只能用離散系統(tǒng)來描述.另一方面，對于一般的非線性微分系統(tǒng)，其精確解是無法求出的，所以常常將其離散化為離散系統(tǒng)求其近似解.另外，像我們熟知的離散

2、Hamilton系統(tǒng)，不僅來源于連續(xù)Hamilton系統(tǒng)的離散化，也來自于遵循Hamilton原理的離散過程，比如離散物理問題，離散控制問題等. 在過去的四十年里，二階差分方程譜理論的研究引起了人們極大的興趣（見[3，17，23，25，41-43，49]及其參考文獻(xiàn)）F.V.Atkinson首先研究了二階純量和向量離散Sturm-Liouville問題并且把帶有分離型邊界條件的向量問題轉(zhuǎn)化為一個厄米特矩陣的譜問題[3].在199

3、5年，A.Jirari研究了帶有更一般邊界條件的二階純量離散Sturm-Liouville問題，推廣了[3]中的部分結(jié)果[25].D.T.Smith利用解的振動性，討論了二階差分方程自伴算子的譜[42].在文獻(xiàn)[41]中，史玉明和陳紹著研究了二階向量離散Sturm-Liouville問題.通過在一個適當(dāng)?shù)娜菰S函數(shù)空間上引入一個自伴算子，得到了一系列的譜結(jié)果. 隨著二階差分方程譜理論的深入研究，離散線性Hamilton系統(tǒng)逐漸引起

4、了人們的興趣并且得到了許多結(jié)果（見[2，9，10，12，18，21，34，36，38，39，45，46]及其參考文獻(xiàn)）M.Bohner通過引入嚴(yán)格可控性的定義，運(yùn)用一個指數(shù)定理，Reid環(huán)繞定理和比較定理等工具得到了一類離散線性Hamilton系統(tǒng)特征值的孤立性和下方有界性[10].史玉明在文獻(xiàn)[38]中通過在一個容許函數(shù)空間上給出一個自伴算子，研究了關(guān)于離散線性Hamilton系統(tǒng)的譜問題，得到了一系列的結(jié)果，包括特征值的變分原理。另

5、外， S.L.Clark和F.Gesztesy研究了具有分離型邊界條件的奇異有限Hamilton差分系統(tǒng)的Weyl-Ticthmarsh理論[18].史玉明在文獻(xiàn)[39]中建立了具有一個奇異端點(diǎn)的離散線性Hamilton系統(tǒng)的Weyl-Titchmarsh理論。隨后，孫華清和史玉明又建立了奇異離散線性Hamilton系統(tǒng)強(qiáng)極限點(diǎn)型的一些判別準(zhǔn)則[45]. 除了二階離散Sturm-Liouville問題和離散線性Hamilton系

6、統(tǒng)譜理論的研究吸引了人們大量的注意力，高階離散線性問題也逐漸被一些學(xué)者研究.周勇[50]，G.Grzegorczyk和J.Werbowski[22]均研究了首項(xiàng)系數(shù)是1的高階線性差分方程，建立了幾個關(guān)于解的振動性的判定定理。史玉明和陳紹著研究了高階離散線性邊值問題，得到了一些譜結(jié)果[40].但是由于高階差分方程自身的特點(diǎn)，使得問題研究起來要比二階差分方程和離散Hamilton系統(tǒng)困難得多.也許是因?yàn)檫@個原因，討論高階差分方程的文獻(xiàn)不是很

7、多.關(guān)于高階離散線性問題，讀者還可參考[19，30，32]. 近年來，特征值關(guān)于問題的連續(xù)依賴性引起了人們的關(guān)注.顯然，它在理論上是很重要的。另外，從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型的時候，在方程的系數(shù)和邊界條件的數(shù)據(jù)中總會出現(xiàn)一些誤差.因此，特征值關(guān)于問題的連續(xù)依賴性在應(yīng)用上也是很重要的。而且從特征值和特征函數(shù)的數(shù)值計(jì)算角度來看，它也是很基礎(chǔ)的。利用特征值關(guān)于問題的連續(xù)依賴性，文獻(xiàn)（8]中的代號SLEIGN和文獻(xiàn)[4-7]中的代號SLE

8、IGN2被設(shè)計(jì)用來計(jì)算二階連續(xù)Sturm-Liouville問題的特征值和特征函數(shù)。在1996年，孔慶凱和A.Zettl考慮了正則二階連續(xù)Sturm-Liouville問題，給出了特征值關(guān)于參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，這些參數(shù)包括端點(diǎn)，邊界條件，方程的系數(shù)和權(quán)函數(shù)[27].這些結(jié)果證明了對于每一個固定的特征值，都存在通過它的一個連續(xù)特征值分支.在1999年，孔慶凱，吳宏友和A.Zettl更深入地研究了正則二階連續(xù)Sturm-Liouville問

9、題特征值的連續(xù)依賴性[28].他們構(gòu)造了一個跳躍集，這個跳躍集是由特征值的所有不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成.他們的結(jié)果證明：對于一個固定的k，第k個特征值λk不是邊界條件的連續(xù)函數(shù)。最近，孫書榮，史玉明和吳宏友研究了二階純量正則離散Sturm-Liouville問題[47，48].他們證明了受擾離散Sturm-Liouville問題在原問題的孤立特征值附近存在特征值，并進(jìn)一步研究了它的連續(xù)特征值分支，而且給出了特征值的跳躍集J，即特征值的所有不連續(xù)點(diǎn).

10、他們的結(jié)果表明，特征值的連續(xù)依賴性在連續(xù)情況和離散情況下既有相同點(diǎn)又有不同點(diǎn).更詳細(xì)的討論可參見文獻(xiàn)[28，48]. 基于前人的工作，我們考慮這樣一個問題：當(dāng)一個邊值問題受到微小擾動時，如何來估計(jì)受擾問題和原問題特征值之間的誤差呢?正如前面所述，每個數(shù)學(xué)模型的數(shù)據(jù)均會存在一些誤差，所以這是一個很重要的問題.然而，到目前為止，不管是在連續(xù)情況下還是在離散情況下，都沒有這方面的結(jié)果. 前面我們提到F.V.Atkinson把帶

11、有分離型邊界條件的二階向量問題轉(zhuǎn)化為一個厄米特矩陣的譜問題[3].在文獻(xiàn)[29]中，A.M.Ostrowski研究了兩個矩陣特征值之間的關(guān)系，得到了下面的結(jié)論：的特征值問題，其中 由估計(jì)式（0.2）我們可以看到，特征值的誤差估計(jì)不僅依賴于矩陣擾動幅度的1/（Nd）次方，而且依賴于所討論的區(qū)間長度N.另外，由估計(jì)式（0.3）可知，特征值的誤差估計(jì)不僅與矩陣擾動幅度的1/（Nd）次方有關(guān)，而且與N2有關(guān).當(dāng)擾動幅度很?。ā?），且區(qū)

12、間長度N比較大時，（0.2）和（0.3）中的誤差估計(jì)均會很大.因此，利用這種方法給出問題（0.1）的特征值的誤差估計(jì)就比較粗糙了. 本文利用特征值的變分原理，對帶有一般邊界條件的離散線性邊值問題的特征值進(jìn)行討論，得到了受擾離散邊值問題特征值的誤差估計(jì).本文分為三章，分別對受擾二階離散Sturm-Liouville問題，受擾離散線性Hamilton系統(tǒng)特征值問題和受擾高階離散向量特征值問題之特征值的誤差估計(jì)進(jìn)行研究. 在研

13、究過程中，我們需要先研究可逆矩陣的微擾問題.眾所周知，當(dāng)一個可逆矩陣受到微小擾動時，它仍然是可逆的。當(dāng)這個擾動多小時，能保證可逆矩陣受擾后仍然是可逆的?在本文第一章的第二節(jié)，我們回答了這個問題，并建立了一個關(guān)于矩陣擾動的不等式.在第一章中，在一定的非奇異條件下，我們引入了一個新的容許函數(shù)空間并在此空間上建立了一個新的變分公式.利用該變分公式以及第二節(jié)中建立的關(guān)于矩陣擾動的不等式，給出了充分逼近給定二階向量離散Sturm-Liouvill

14、e問題的受擾問題特征值的誤差估計(jì).由此誤差估計(jì)，得到了特征值關(guān)于問題的連續(xù)依賴性.另外，通過討論一個例子說明了非奇異條件的必要性. 在第二章中，我們研究了離散線性Hamilton系統(tǒng)在小擾動下的特征值的誤差估計(jì).我們還特別討論了兩類特殊的擾動情形.我們知道：當(dāng)二階向量差分方程的首項(xiàng)系數(shù)非奇異時，二階向量離散Sturm-Liouville問題可以轉(zhuǎn)化為離散線性Hamilton系統(tǒng).但是，在第一章中我們只要求二階差分方程的首項(xiàng)系數(shù)在

15、某些子區(qū)間上非奇異，故在第二章中得到的結(jié)果不能完全包含第一章的結(jié)果. 在第三章中，受第一章思想方法的啟發(fā)，我們把第一章的結(jié)果推廣到了2n階離散向量特征值問題.得到了受擾高階離散向量邊值問題特征值的誤差估計(jì).雖然方法類似，但是，由于所研究的問題不僅是高維的而且還是高階的，所以研究更加復(fù)雜. 另外，如果2n階向量差分方程的首相系數(shù)是非奇異的，則它可以轉(zhuǎn)化為第二章中離散線性Hamilton系統(tǒng)的形式.但是，轉(zhuǎn)化之后的離散線性H