幾類捕食系統(tǒng)的分支問題與周期解.pdf

1、本文考慮了幾類捕食系統(tǒng).運用微分方程的定性理論，分支理論和泛函微分方程理論研究其動力學行為，并探討了系統(tǒng)中參數(shù)(如時滯，擴散及非單調(diào)功能反應函數(shù)等)對其動力學行為的影響，為解釋，預測和控制生態(tài)學中的一些現(xiàn)象提供相應的理論依據(jù)，具體而言，本文做了以下工作. 首先，研究了具有多個離散時滯的二維Lotka-Volterra捕食系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)出現(xiàn)Hopf分支的條件；運用規(guī)范形理論和中心流形定理，討論了分支周期解的性質(zhì).結果表明，在適當

2、的假設下，即使捕食系統(tǒng)的時滯選取不同，但系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支的臨界時滯參數(shù)是相同的.進一步，研究了系統(tǒng)分支周期解的大范圍存在性.對于一般的Holling型捕食系統(tǒng)，從理論上證明了只有具有非單調(diào)功能反應函數(shù)的Holling型捕食系統(tǒng)才會出現(xiàn)退化的Bogdanov-Takens奇點.基于此，我們考慮了同時含有時滯和非單調(diào)功能反應函數(shù)的捕食系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)的Hopf分-支和Bogdanov-Takens分支，并給出Hopf分支的方向和分支周期

3、解的穩(wěn)定性，同時計算了Bogdanov-Takens分支的普適開折，結果表明，系統(tǒng)在選取不同的參數(shù)值時，分別會出現(xiàn)極限環(huán)和同宿軌。 其次，考慮具有擴散影響的Leslie型時滯捕食系統(tǒng).通過分析正常數(shù)平衡態(tài)處的線性化系統(tǒng)和相應的特征方程，研究了正常數(shù)平衡態(tài)的漸近穩(wěn)定性和系統(tǒng)存在Hopf分支的條件，運用偏泛函微分方程的規(guī)范形理論和已知的相應結果，討論空間齊次Hopf分支的性質(zhì).特別地，我們研究了擴散對Hopf分支的影響，發(fā)現(xiàn)大擴散不

4、影響系統(tǒng)對應的泛函微分方程的Hopf分支，而小擴散可使系統(tǒng)在正平衡點附近分支出空間非齊次的周期解，同時獲得了決定空間非奇次Hopf分支的方向以及分支周期解的穩(wěn)定性的公式. 最后，考慮具有非單調(diào)功能反應函數(shù)的Leslie-Gower型捕食系統(tǒng).雖然這類系統(tǒng)中不含時滯，但是由于系統(tǒng)的正平衡點無法顯式表出，所以研究系統(tǒng)的動力學行為是比較困難的.我們運用微分方程定性理論討論了系統(tǒng)的Bogdanov-Takens分支。數(shù)值模擬表明，非單調(diào)