幾類光滑及非光滑系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué).pdf

1、自Poincaré時(shí)代以來，無論在數(shù)學(xué)或工程領(lǐng)域，自治與非自治微分方程都是研究的熱點(diǎn)。在理論方面，眾多數(shù)學(xué)家如Poincaré，Arnold，Littlewood等對微分方程極為關(guān)心。在工程應(yīng)用方面，由于力學(xué)，電子，生物數(shù)學(xué)等眾多學(xué)科中的問題均可以建模為微分方程，如干摩擦系統(tǒng)、碰撞系統(tǒng)、捕食食餌模型、Memristor振子等，所以這些學(xué)科的眾多學(xué)者對微分方程的研究也深感興趣。
　　首先，我們簡單介紹了研究微分方程的意義和三類微分方

2、程（三次Liénard系統(tǒng)、SD振子、Filippov系統(tǒng)）。同時(shí)，介紹了本文對這三類方程的研究內(nèi)容和主要研究結(jié)果。
　　1998年，Khibnik,Krauskopf和Rousseau等發(fā)表在英國雜志《Nonlinearity》上的文章對這類含三參數(shù)的三次Liénard系統(tǒng)進(jìn)行了全局分析。然而他們并沒有完整解決極限環(huán)和同宿環(huán)問題，他們猜想二重極限環(huán)分岔曲面可以表示一個(gè)參數(shù)關(guān)于另兩個(gè)參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式。在本文第二章和第三章分別對此類

3、系統(tǒng)的兩奇點(diǎn)情形和三奇點(diǎn)情形進(jìn)行研究。
　　然后，我們完整研究了這類三次Liénard系統(tǒng)的兩奇點(diǎn)情形。首先研究了有限遠(yuǎn)處與無限遠(yuǎn)處奇點(diǎn)的定性性質(zhì)。為了討論此類系統(tǒng)在某些參數(shù)區(qū)域內(nèi)極限環(huán)的唯一性與不存在性，我們給出了關(guān)于具有多個(gè)平衡點(diǎn)的Liénard系統(tǒng)極限環(huán)的唯一性與不存在性判據(jù)。接下來證明了極限環(huán)至多兩個(gè)，并證明了此系統(tǒng)的同宿環(huán)在兩條同宿分岔曲線之間的參數(shù)區(qū)域都能保持。最終，根據(jù)上述分析，給出了完整的分岔圖。因此，在兩個(gè)奇點(diǎn)情

4、形，Khibnik,Krauskopf和Rousseau等人的猜想被完整解決。
　　我們同樣完整研究了一類三次Liénard系統(tǒng)的三奇點(diǎn)情形。首先研究了有限遠(yuǎn)處與無限遠(yuǎn)處奇點(diǎn)的定性性質(zhì)。接下來證明極限環(huán)至多有三個(gè)，并對部分參數(shù)區(qū)域，確定了此系統(tǒng)的三條同宿分岔曲面之間的位置關(guān)系。最終，根據(jù)上述分析，給出了分岔圖。并且，對三個(gè)奇點(diǎn)情形，完整解決了Khibnik,Krauskopf和Rousseau等人的猜想。
　　接下來的兩章研

5、究兩類周期激勵(lì)系統(tǒng)，且周期激勵(lì)都是由抽象函數(shù)表示的（無具體表達(dá)式），其中研究的SD振子是無阻尼的和大振幅周期激勵(lì)的，而研究的Filippov系統(tǒng)卻是具有小阻尼的和小振幅周期激勵(lì)的。
　　我們先是研究了一類共振情形下SD振子的調(diào)和解。此類振子根據(jù)參數(shù)取值可分為光滑情形與非光滑情形。對光滑與非光滑情形，我們運(yùn)用Poincaré-Bohl不動(dòng)點(diǎn)定理證明了調(diào)和解的存在性條件，同時(shí)給出了唯一性條件。
　　最終，我們還研究了一類具有小阻