一類非光滑電路的快慢動力學行為分析.pdf

1、非線性電路作為非線性科學研究的一個重要分支,包含著豐富的動力學現(xiàn)象。由于電路模型在實驗上比較容易構(gòu)建,同時也可以用于分析混沌同步、混沌控制和模擬保密通信,其動力學行為一直是國內(nèi)外研究的熱點課題之一。迄今為止,各國學者在非線性電路方面取得了許多研究成果,然而實際電路系統(tǒng)中存在著開關(guān)、閾值、脈沖控制等大量非光滑因素,同時,由于電路參數(shù)的可調(diào)性較大,非線性電路的動力學行為可能顯示出多時間尺度系統(tǒng)的快慢效應,因此,有必要詳細研究非光滑電路系統(tǒng)的

2、快慢效應。基于這樣的背景,論文著重探討了一類由分段線性引起的非光滑電路在兩時間尺度下的快慢動力學行為。
　　 非線性電容混沌電路的非線性因素來自于電容元件上電量一電壓關(guān)系的分段線性,這使得整個電路的動力學行為在分段點發(fā)生質(zhì)的變化,成為一個非光滑系統(tǒng)。本文通過數(shù)值計算給出了系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分岔圖和一系列典型的相軌跡,指出該系統(tǒng)的分岔過程呈現(xiàn)出非光滑分岔的典型特征,即具有混沌帶間隔的加周期分岔序列。由于系統(tǒng)中含有分段光滑的函數(shù),所以

3、其向量場連續(xù)但非光滑。運用微分包含理論引入輔助函數(shù)(廣義Jacobian矩陣),從理論上分析了系統(tǒng)在向量場臨界線處發(fā)生的非光滑分岔,確定了其分岔類型為多次穿越分岔(multiplecrossing bifurcation),該分岔也可看作光滑系統(tǒng)中兩種常見分岔,轉(zhuǎn)點分岔(turningpoint bifurcation)和Hopf分岔的復合分岔。分析得出,其中Hopf分岔的主要作用是產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán),即穩(wěn)定的吸引子,而轉(zhuǎn)點分岔的主要作用

4、則是使系統(tǒng)的相軌跡在兩個對稱的吸引子之間來回振蕩。同時從分岔的角度解釋了系統(tǒng)周期解產(chǎn)生的機理及其動力學行為隨參數(shù)變化而發(fā)生的諸如振蕩加快和加周期分岔等現(xiàn)象,且理論分析與數(shù)值模擬的結(jié)果基本吻合。
　　 針對三階自治蔡氏電路,討論了該非光滑系統(tǒng)在不同時間尺度下的快慢動力學行為。在一定的參數(shù)條件下,系統(tǒng)的周期解為對稱尖峰解,表現(xiàn)出明顯的快慢效應。根據(jù)快慢分析法,按照狀態(tài)量變化的快慢將全系統(tǒng)分為快慢兩個子系統(tǒng),并將慢變量看作快子系統(tǒng)的控

5、制參數(shù),進而討論了快子系統(tǒng)的非光滑分岔,確定了其分岔類型為單次穿越分岔(single crossing bifurcation)。也就是說快子系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性會在臨界線處突然發(fā)生變化,導致全系統(tǒng)的相軌跡在臨界線處發(fā)生轉(zhuǎn)折,并在慢變量的調(diào)節(jié)下交替進行著不同時間尺度的快慢運動,從而形成周期尖峰解(spiking)。
　　 廣義蔡氏電路具有十分豐富的動力學行為和廣泛的應用背景。本文按非光滑和光滑兩種情形討論了四階廣義蔡氏電路的動力學

6、行為及其分岔。對于非光滑四階蔡氏電路,給出了全系統(tǒng)動力學行為隨參數(shù)變化的演化模式,得到了該系統(tǒng)在慢變效應下的對稱簇發(fā)解(1)urstin個)和混沌吸引子。討論了快子系統(tǒng)非光滑分岔的類型,即多次穿越分岔。結(jié)合快慢分析法探討了非光滑對稱簇發(fā)解的產(chǎn)生機制,并從快子系統(tǒng)的平衡點特征值的性質(zhì)出發(fā),解釋了參數(shù)變化導致的加周期分岔現(xiàn)象。作為比較,在原電路模型基礎(chǔ)上加以修改,得到光滑廣義蔡氏電路模型,討論了該光滑系統(tǒng)的快慢動力學行為,分析并指出其簇發(fā)解

7、的類型分別為焦點.焦點型Fold/Fold和Hopf/Fold簇發(fā)。根據(jù)Hopf分岔理論解釋了不同參數(shù)條件下同種類型的簇發(fā)解的區(qū)別,并從系統(tǒng)向量場的不對稱性出發(fā),指出并解釋了文中簇發(fā)解的特殊之處。通過與相似的光滑動力系統(tǒng)作比較可知,非光滑系統(tǒng)的分岔與向量場的分界面的位置及其兩側(cè)平衡點的性質(zhì)密切相關(guān)。
　　 周期激勵下的非光滑電路,包含著更為豐富的非線性特性。為此,我們探討了不同外激勵幅值和頻率下該系統(tǒng)的動力學行為。在低頻激勵下,

8、即外激勵頻率在數(shù)量級上遠小于系統(tǒng)的固有頻率時,系統(tǒng)的動力學行為表現(xiàn)出明顯的快慢效應。當激勵頻率增加到和系統(tǒng)的固有頻率在同一量級時,則快慢效應消失。對于文中所討論的系統(tǒng),與頻率變化對整個系統(tǒng)動力學行為的影響相比,外激勵強度的變化則沒有引起系統(tǒng)動力學行為演變的根本性變化。在上述情形中,本文著重討論低頻激勵下系統(tǒng)的簇發(fā)行為,并指出了非光滑分岔在系統(tǒng)動力學行為演化過程中的重要作用。對于這樣一個非自治電路,先引入“廣義自治系統(tǒng)”的概念,將其看作形