幾類非線性色散偏微分方程的研究.pdf

1、非線性現(xiàn)象是自然界中普遍存在的一種重要現(xiàn)象。許多實(shí)際的非線性問題最終都可歸結(jié)為非線性系統(tǒng)來(lái)描述。最近幾十年來(lái)，物理、力學(xué)、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融等領(lǐng)域中誕生了許多非線性偏微分方程，但是由于方程的非線性以及本身的復(fù)雜性，使得對(duì)這些方程的研究具有很大的挑戰(zhàn)性。本文研究了幾類有著深刻物理背景的非線性色散偏微分方程，即廣義Camassa-Holm方程，變形Camassa-Holm方程，廣義Degasperis-Proces

2、i方程，F(xiàn)ornberg-Whitham方程，和浸入K(2，2)方程。 對(duì)于廣義Camassa-Holm方程(3.18)，研究了它的Cauchy問題，得到了尖峰孤立波解是方程(3.18)的Cauchy問題整體弱解的結(jié)論。并指出尖峰孤立波是軌道穩(wěn)定的。研究了方程(3.18)的初邊值問題(3.36)，利用Kato定理證明了初邊值問題(3.36)在適當(dāng)函數(shù)空間上是局部適定性，結(jié)合守恒律得到了初邊值問題(3.18)的兩個(gè)blow up結(jié)

3、果。還發(fā)現(xiàn)了方程(3.18)的一個(gè)隱性線性結(jié)構(gòu)，并由此得到了它的一種多重解的疊加解，對(duì)于變形Camassa-Holm方程(3.17)，研究了其行波解，數(shù)值模擬表明，該方程具有一類定義在半實(shí)軸上的精確行波解。 對(duì)于廣義Degasperis-Procesi方程(4.7)，研究了它的一類初邊值問題(4.11)，同樣得到了初邊值問題(4.11)在適當(dāng)函數(shù)空間上是局部適定性，利用微分不等式得到了初邊值問題(4.11)的解的blow up結(jié)

4、果。利用激波ansatz首先將方程(4.7)約化為一個(gè)常微分方程，然后通過(guò)求解此常微分方程得到了方程(4.7)由尖峰孤立波和反尖峰孤立波相互碰撞形成的一類特殊的波一激波的表達(dá)式。利用平面動(dòng)力系統(tǒng)分叉方法結(jié)合數(shù)值模擬得到方程(4.7)的類扭結(jié)解和類反扭結(jié)解。同時(shí)還得到了方程(4.7)的峰狀和谷狀光滑孤立波解、尖峰孤立波解和周期波解，并指出尖峰孤立波可看作是光滑孤立波和周期波的極限。最后還發(fā)現(xiàn)了方程(4.7)的一個(gè)隱性線性結(jié)構(gòu)，并由此得到了

5、它的一種多重解的疊加解。 對(duì)于Fornberg—Whitham方程(5.1)，研究了其Cauchy問題，得到了其Cauchy問題在Hs(R)(s＞3/2)空間中是局部適定的。利用分叉方法的得到了其光滑孤立波解、尖峰孤立波解和周期尖角子解，并指出尖峰孤立波可看作是光滑孤立波和周期波的極限。同時(shí)結(jié)合數(shù)值模擬得到了其類扭結(jié)解和類反扭結(jié)解。最后利用橢圓積分得到了方程(5.1)的反向環(huán)狀孤立波解、峰狀光滑孤立波解，以及其它各種周期解。