圖L(Km,n)的自同構.pdf

1、設X為簡單圖，用V(X),E(X）和Aut(X)分別表示它的頂點集合，邊集合和全自同構群.設G是一個有限群，S是G的不含單位元1的子集，我們如下定義群G關于子集S的Cayley有向圖X=Cay(G，S):V(X）=G，E(X)={(g，sg)|g∈G，s∈S}.特別的，若S=S-1，則X=Cay(G，S)是無向的.此時我們把一條無向邊{u，v}等價于兩條有向邊(u，v)和(v，u).稱一個有限群G上的一個Cayley圖X=Cay(G，S

2、)是正規(guī)的，如果G的右正則表示R(G)在X的全自同構群Aut(X)中是正規(guī)的.本文中，我們首先從圖論中的基本概念入手，介紹了同構，自同構，正則等相關知識;其次介紹了群的Cayley圖及其Cayley圖的自同構的一些必要的引理及證明;最后引出了本文的核心內容，即對二部圖Km,n的線圖L（Km，n）的自同構做了討論.因為圖L(K1，n)是一個孤立點，所以我們總假定m，n是兩個不同時為1的正整數(shù)，首先證明了圖L(Km,n)是群Zm×Zn上的C

3、ayley圖，給出了這類圖的全自同構群，進而得出了當m=n時，圖L(Km,n)都是弧傳遞的.并證明了圖L（Km，n）作為群Zm×Zn上的Cayley圖除L(K1，2)，L(K1，3)，L(K2,2)，L(K2，3)和L(K3,3)正規(guī)外，X都是不正規(guī)的.即當max{m，n}＞3時，L(Km，n)作為群Zm×Zn上的Cayley圖不正規(guī).
　　值得提出的是，當m=n時，圖L(Km,n)是參數(shù)為（n2，2（n-1），n-2，2）的強正