二次型圖的自同構及其應用.pdf

1、我們用Qn(Fq)表示特征為2的有限域Fq上全體n(≥2)元二次型的集合。在Qn(Fq)上定義關系(x，y)∈Ri()二次型x-y的類型為i， 這里x，y∈Qn(Fq)，i=0，1，2+，2-，3，4+，….由此所定義的關系確定了一個類數為n+[n/2]的對稱結合方案xn.結合方案xn的每一個關系Ri對應一個二次型圖Γi，它以Qn(Fq)為頂點集，兩個頂點x和y相鄰當且僅當x-y的類型為i.在本文中，我們利用矩陣方法確定了二次型

2、圖Г2+的全部自同構，證明了如下：定理A：設n≥2，q為偶數，Г2+是有限域Fq上的n元二次型圖。那么，Г2+的每一個自同構都具有如下形式X()PtXσP+Y,()X∈Qn(Fq)，(1)這里P∈GLn(Fq)，σ是Fq的一個自同構，Y∈Qn(Fq)，除非(n，q)=(3，2).當(n，q)=(3，2)時，Г2+的每一個自同構或者具有形式(1)，或者是形如(1)的自同構與形如(2)的自同構之積，這里(dabedf)-(ad*becf),

3、(2)a*=a+b+c+f.應用定理A，我們證明了結合方案xn的每一個自同構都具有形式(1)。 通過研究n=2時二次型圖Г2+的一個導出子圖的結構，我們構作了一類新的3-設計，證明了定理B：存在單純的3-(q，1/2q-1，1/8(q-4)(q-6))設計。(詳見定理4.2.2和推論4.2.4) 類似地，由n=2時二次型圖Г2-的一個導出子圖，我們構作了一類參數為3-(q，1/2q，1/8q(q-4)))的3-設計，去掉