有限群的Laffey自同構.pdf

1、有限群的自同構群是群論中重要而困難的研究課題之一，近年來日趨活躍.給定任意群G以及一個自同構α∈Aut(G)，如果總成立gαg=ggα，g∈G，則稱α為G的一個交換自同構。從定義不難看出交換自同構是中心自同構的一種推廣。群G的全體交換自同構集合記為A(G)，一般不是Aut(G)的子群。2002年Deaconescu等在文獻[16]中對交換自同構進行了深入的研究，得到了一系列重要結果，文中所用到的一個關鍵技術是所謂的Laffey引理，即任

2、意群G的每個交換自同構α總滿足換位子公式[xα，y]=[x,yα]，(V) x，y∈G.本文將滿足該換位子公式的任意自同構α∈Aut(G)稱為群G的一個Laffey自同構，并記所有的Laffey自同構集合為L(G),據(jù)此可將交換自同構的大多重要結論推廣到Laffey自同構上。進而，得出本文主要內(nèi)容。
　　本研究首先給出一個自同構何時是一個Laffey自同構的判別條件：定理1.設G為任意群，α∈Aut(G).如果α2∈Autc(G)

3、，則α∈L(G)當且僅當α中心化G'。下面從生成元的角度給出Laffey自同構的一個判別條件。定理2.設群G=，α∈Aut(G).則α∈L(G)當且僅當[xα，y]=[x，yα]，(V(x,y∈X。本文還討論了Laffey自同構和交換自同構的關系，給出了Laffey自同構是交換自同構的一些條件。定理3.設G為任意群，則下述成立：(1)如果|G'|為奇數(shù)，則L(G)=A(G).此時，[G,α]≤E2(G),(V)α∈L(G)；(2)

4、任取α∈L(G)，則α2∈A(G)。可將以上交換自同構的大多重要結論推廣到Laffey自同構上，即本文以下定理：定理4.設G為任意群，α，β∈L(G)，則下述成立：⑴L(G)對方冪封閉，即對任意的n∈Z，均有αn∈L(G)；⑵L(G)對共軛封閉，即對任意的γ∈Aut(G)，均有γ-1αγ∈L(G)；⑶任取整數(shù)n≥0，則(αβ)nα，β(αβ)n∈L(G)；⑷[α，β]固定G'中的每個元素；⑸若αβ∈L(G)，則[α，β]∈Autc(G)