常重碼與常重復合碼及其相關設計.pdf

1、在編碼理論中，常重碼是一種帶有檢錯和糾錯能力的重要編碼，其中所有的碼字都有相同的Hamming重量。常重復合碼是一類特殊的常重碼，而置換碼可視為一類特殊的常重復合碼。常重復合碼近來吸引了相當多的學者參與其研究，這主要是因為其廣泛的應用背景，例如:離散無記憶信道中無錯判決反饋容量的確定、多址方式的通信問題、球碼調制、DNA編碼、電力線通信、跳頻序列、頻率置換陣列以及頻寬限制信道中的編碼問題。
　　常重復合碼問題的系統(tǒng)研究開始于二十世

2、紀九十年代末。今天，許多方法都被用來確定常重復合碼的最大碼字個數(shù)問題。在Svanstr(o)m等人的論文中，對于長度為n，極小Hamming距離為d且復合構型為(w)的三元碼的極大碼字個數(shù)A3(n，d，(w))提出了一些求上界及下界的方法。重量為3的最優(yōu)三元常重復合碼、重量為4且極小Hamming距離為5的最優(yōu)三元常重復合碼、重量為3的最優(yōu)四元常重復合碼以及重量為4且極小Hamming距離為7的最優(yōu)四元常重復合碼的碼字個數(shù)問題都已先后被

3、解決。本文第三章和第四章中將分別研究重量為4，極小距離為5或6的最優(yōu)四元常重復合碼以及距離為6、復合構型為[2，2]的最優(yōu)三元常重復合碼的構造問題，并都得到了較為完整的存在性結果。
　　在第三章中，一些最優(yōu)（n，5，[2，1，1]）4碼可以由一個帶有超單性質的n階Room方得到。早在1850年，Kirkman就給出了一個7階Room方，并將其用來解決了著名的“15女生問題”。在后來的時間里，數(shù)學家們嘗試了用代數(shù)、圖論以及組合等方法

4、來研究高階Room方的存在性問題。在一個257階的Room方被證明存在后，v階Room方的存在性問題最終得到了完全解決。Room方與很多組合結構都有聯(lián)系。例如，帶有特殊性質的Room方曾被用來構造4-GDD。Room frame，可視為Room方的一種推廣，曾被用來構造n階幾乎完全可分的有向k圈系和4-frame。第三章中出現(xiàn)的超單Room方的存在性問題本身也是一個值得研究的問題。在第五章中，除了兩個極小的階數(shù)不能確定，這個問題得到了較

5、好的解決。
　　早期，當許多無約束編碼在信道通信糾錯等方面有明顯的應用時，常重碼被認為是僅有理論意義的編碼。但在今天，人們發(fā)現(xiàn)常重碼在越來越多的方面有重要應用。常重碼在許多工程問題上被廣泛應用，例如在光導纖維中的碼分多址系統(tǒng)、無反饋沖突信道中的協(xié)議設計、自動重傳請求中的錯誤控制系統(tǒng)、并行異步通信。另外，常重碼還在球碼和無偏直流約束碼的設計中充當基礎構件的角色。其更進一步的應用也已經(jīng)擴展到跳頻擴頻系統(tǒng)、雷達和聲納的信號設計、移動無線

6、電通信和信號同步。一種帶有特殊性質的K-GDD被用來構造常重碼。這種K-GDD被記為K-*GDD，其中任意兩個相交區(qū)組中的點最多共享兩個共同的組。在第六章中將主要考察4-*GDD(gn)的存在性。在此之前，這類GDD存在性的必要條件被證明在下列情況下也是充分的:g=3時，或者g=6且n為素數(shù)冪、n≡3，5，7(mod8)、n≥19時。在這一章中，將證明4-*GDD(6n)存在的必要條件，n≥14，也是充分的。相應的最優(yōu)四元（n，5，4）