“三線合一”證題

1、1等腰三角形巧用巧用“三線合一三線合一”證題證題“三線合一”是等腰三角形的一條特殊性質(zhì)，在一些幾何題的證題過程中有著廣泛的應(yīng)用。本文結(jié)合實(shí)例說明其應(yīng)用，供參考。一.直接應(yīng)用“三線合一”例1.已知，如圖1，AD是的角平分線，DE、DF分別是和的?ABC?ABD?ACD高。求證：AD垂直平分EFA12EFBDC圖1分析：從本題的條件和圖形特征看，欲證AD垂直平分EF，因?yàn)橛?，所???12只要證為等腰三角形即可?AEF證明：?DEABDFA

2、C??，????12，ADAD????RtAEDRtAFDAEAF??又???12AD垂直平分EF?例2.如圖2，中，AB＝AC，AD為BC邊上的高，AD的中點(diǎn)為M，CM的延?ABC長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)K，求證：ABAK?3AKMEBDC圖2分析：可考慮作DECK交AB于E，因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以K是AE的中點(diǎn)，只要證E是BK的中點(diǎn)，問題可得到解決。由于有，，所以就想到用ABAC?ADBC?“三線合一”。3????ADECDF又??????

3、ADFCDF90?????ADFADE90?即DEDF?三.先構(gòu)造等腰三角形，再用“三線合一”例4.如圖4，已知四邊形ABCD中，，M、N分別為????ACBADB90?AB、CD的中點(diǎn)，求證：MNCD?CDAMB圖4N分析：由于MN與CD同在中，又N為CD的中點(diǎn)，于是就想到證為?MCD?MCD等腰三角形，由于MD、MC為、斜邊AB上的中線，因此RtADB?RtACB?，所以，問題容易解決。MDMCAB??12證明：連結(jié)DM、CM，M是

4、AB的中點(diǎn)??????ACBADB90???DMCMAB12是等腰三角形??CMD又N是CD的中點(diǎn)，???MNCD例5.如圖5，中，BC、CF分別平分和，于E，?ABC?ABC?ACBAEBE?于F，求證：EFBCAFCF?AFE1BC圖5M2N分析：由BE平分、容易想到：延長(zhǎng)AE交BC于M，可得等腰?ABCAEBE?，E為AM的中點(diǎn)；同理可得等腰，F(xiàn)是AN的中點(diǎn)，故EF為的?BMA?CAN?AMN中位線，命題就能得證。證明：延長(zhǎng)AE、