微分中值定理的應(yīng)用

1、一、一、用微分中值定理證明函數(shù)恒等式用微分中值定理證明函數(shù)恒等式11110111limdxdxdxxxx?????????????????????????limbbbfxdxfxdx???????????1.欲證：當(dāng)欲證：當(dāng)時，有恒等式時，有恒等式xI???fxa?解題程序：解題程序：⑴驗證驗證，由此推出，由此推出??0fx????fxC?⑵取區(qū)間取區(qū)間內(nèi)的一個特殊值確定常數(shù)：若內(nèi)的一個特殊值確定常數(shù)：若則有則有，I0xI???0fxa

2、?即。Ca?2.欲證兩個函數(shù)恒等：當(dāng)欲證兩個函數(shù)恒等：當(dāng)時，有時，有xI?????fxgx?若令若令，這時化為，這時化為1中的情形。的情形。??????Fxfxgx??0a?3.用拉格朗日中值定理證明函數(shù)恒等式用拉格朗日中值定理證明函數(shù)恒等式如證明如證明arcsinarccos1.2xxx????二、二、直接用微分中值定理證明中值等式直接用微分中值定理證明中值等式所謂所謂中值等式中值等式或中值不等式中值不等式，就是證明，就是證明等式或不

3、等式僅等式或不等式僅在區(qū)間內(nèi)的一點或至少一點成立。證明中值等式須用微分中區(qū)間內(nèi)的一點或至少一點成立。證明中值等式須用微分中值定理，泰勒公式或積分中值定理。值定理，泰勒公式或積分中值定理。下述情況的中值等式，一般需用微分中值定理證明下述情況的中值等式，一般需用微分中值定理證明⑴若題設(shè)若題設(shè)函數(shù)函數(shù)或與在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間??fx??fx??gx??ab內(nèi)可導(dǎo)（或隱含）內(nèi)可導(dǎo)（或隱含），欲證欲證：至少存在一點：至少存在一

4、點或存在或存在??ab??ab??，使一個等式成立，且等式中含有，使一個等式成立，且等式中含有或??ab??????ff?????等。等。若欲證：存在惟一若欲證：存在惟一一點一點使等式成立，使等式成立，????fg??????ab??除證明存在除證明存在之外，一般尚需用反證法或函數(shù)的單調(diào)之外，一般尚需用反證法或函數(shù)的單調(diào)??ab??用泰勒公式證明中值等式的解題思路：用泰勒公式證明中值等式的解題思路：若題設(shè)若題設(shè)給出函數(shù)給出函數(shù)若干個點的

5、函數(shù)值和（或）導(dǎo)數(shù)值，若干個點的函數(shù)值和（或）導(dǎo)數(shù)值，??fx而欲證等式中含有二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)時，可考慮用而欲證等式中含有二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)時，可考慮用泰勒公式證明。勒公式證明。三、三、用選取輔助函數(shù)的方法證明中值等式用選取輔助函數(shù)的方法證明中值等式解題原理解題原理用羅爾定理。用羅爾定理。解題思路解題思路導(dǎo)數(shù)公式與運算法則的導(dǎo)數(shù)公式與運算法則的逆向思維，逆向思維，即由已知導(dǎo)即由已知導(dǎo)函數(shù)函數(shù)，推出函數(shù)，推出函數(shù)。??Fx???Fx

6、直接觀察法解題程序：直接觀察法解題程序：首先，將欲證等式中的首先，將欲證等式中的換成換成，并將其寫成，并將其寫成的形式；的形式；?x??0Fx??其次，直接觀察其次，直接觀察的表達式，按上述的的表達式，按上述的逆向思維確定輔逆向思維確定輔??Fx?助函數(shù)助函數(shù)的表達式；的表達式；??Fx再次，驗證再次，驗證在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間上是否滿足羅爾定理的條上是否滿足羅爾定理的條??Fx??ab件：若滿足，便可推出件：若滿足，便可推出；??0

7、F???若不滿足，一般情況是依據(jù)題設(shè)條件，利用函數(shù)的零若不滿足，一般情況是依據(jù)題設(shè)條件，利用函數(shù)的零點定理或介值定理在點定理或介值定理在內(nèi)找到一點內(nèi)找到一點，使，使在區(qū)間在區(qū)間??ab???Fx或上滿足羅爾定理的條件，從而推出上滿足羅爾定理的條件，從而推出；??a???b???0F???最后，由最后，由還原到欲證等式。還原到欲證等式。??0F???選取的輔助函數(shù)的幾種類型：選取的輔助函數(shù)的幾種類型：①選取代數(shù)和，即選取代數(shù)和，即????