微分應(yīng)用

1、第四章。微分學(xué)應(yīng)用第四章。微分學(xué)應(yīng)用對于變量取實數(shù)的函數(shù)，我們已經(jīng)建立了導(dǎo)數(shù)與微分的概念，可以應(yīng)用于研究實變量函數(shù)的局部性質(zhì)。本章討論的就是如何應(yīng)用這兩個概念來研究實變量函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的極值點和極值的概念。函數(shù)的極值點和極值的概念。從直觀的角度來理解這兩個概念，還是比較容易的，不過初學(xué)者容易把握不到要點的地方是這兩個概念完全是局部性質(zhì)的概念，即只是在一點的附近，或者是在一點的某個領(lǐng)域內(nèi)有效，而不管這個鄰域是多么的小。因此函數(shù)的極值點更

2、為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f，應(yīng)該是函數(shù)的局部極值點。仔細(xì)分析一下下面的定義：如果函數(shù)在某點的鄰域內(nèi)都有定義，而函數(shù)在這個鄰域內(nèi)所有點的函數(shù)值總是小于或等于函數(shù)在這點的函數(shù)值，那么這點就是函數(shù)在這個鄰域內(nèi)的極大值點極大值點，函數(shù)在這點的函數(shù)值就是函數(shù)在這個鄰域內(nèi)的極大值極大值；反過來，就分別稱為函數(shù)在這個鄰域內(nèi)的極小值點極小值點和極小值。極小值?？梢郧宄乜吹?，極值點和極值都只是對于一個鄰域而言的，任何時候不首先給出這極值點和極值都只是對于一個鄰域而言的

3、，任何時候不首先給出這個鄰域，討論極值點和極值都是沒有意義的。個鄰域，討論極值點和極值都是沒有意義的。從幾何直觀的角度來講，我們一般地可以通過圖形來表示這個概念，比方說如圖所示：我們說圖中函數(shù)在a的取值為極大值，同時還必須說明這個極大值具有存在意義的鄰域，而這個鄰域的大小顯然有時候是無法通過圖形表示的。那么我們是否還有更為方便的描述方法呢？根據(jù)定義來通過一一比較而得到極值，顯然是不可行的，我們希望存在更為直接的描述，可以應(yīng)用來作為實際可

4、行的判據(jù)，這就需要導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)在一點的某個鄰域里是以這點作為極值點的，那么函數(shù)在這點的導(dǎo)數(shù)如果存在，函數(shù)在一點的某個鄰域里是以這點作為極值點的，那么函數(shù)在這點的導(dǎo)數(shù)如果存在，則必定是等于則必定是等于0。這是極值點的一個特征，但是反過來，如果我們要判斷一點是否極值點，并不是完全這是極值點的一個特征，但是反過來，如果我們要判斷一點是否極值點，并不是完全依賴這個特征，因為這個定理反過來說并不是正確的，即導(dǎo)數(shù)等于依賴這個特征，因為這個定理反

5、過來說并不是正確的，即導(dǎo)數(shù)等于0的點，并不一定就是的點，并不一定就是極值點。極值點。這樣我們就必須對于導(dǎo)數(shù)為0的點給出專門的稱呼，使得我們在實際的尋找極值點的過程中，是首先找到導(dǎo)數(shù)為0的點，然后再在這種點中間分辨出極值點出來。我們稱導(dǎo)數(shù)為0的點為駐點或者說平穩(wěn)點。那么上面的定理就可以這么說：函數(shù)的極值點首先必須是函數(shù)的駐點。我們還可以進一步擴大這種包含極值點的范圍，比方說，我們定義導(dǎo)數(shù)為0和根本就嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明可以有多種方法，例如可以通過應(yīng)

6、用羅爾定理。同樣必須注意這里和上面的定理具有同樣的條件?？挛髦兄刀ɡ??？挛髦兄刀ɡ怼Ｈ绻莾蓚€函數(shù)在同一個閉區(qū)間上同時滿足上面的兩個條件，那么就有下面的定理：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f（x）和）和y=g（x）同時滿足下面的條件：）同時滿足下面的條件：（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)；）上可導(dǎo)；（3）兩個函數(shù)在開區(qū)間上不同時為）兩個函數(shù)在開區(qū)間上不同時為0；則在開區(qū)間（則在開區(qū)間（a，b

7、）上必定存在一點）上必定存在一點c，使得兩個函數(shù)在這點的導(dǎo)數(shù)滿足：，使得兩個函數(shù)在這點的導(dǎo)數(shù)滿足：)()()()()()(agbgafbfcgcf???顯然這個表達式還要求顯然這個表達式還要求0)()(??agbg。注意這個定理里的條件（3）。這個定理同樣可以應(yīng)用羅爾定理，通過構(gòu)造輔助函數(shù)來證明。而如果取g（x）=x，則這個定理就是拉格朗日中值定理。因此這個中值定理可以看成是這三個中值定理當(dāng)中最一般的定理。羅必達法則。羅必達法則?？挛髦?/p>

8、值定理的一個極其重要的應(yīng)用就是可以用來計算未定型的極限。仔細(xì)觀察柯西中值定理里的表達式的形式，可以看到兩個函數(shù)式的比值，在移動條件下可以化成者兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的比值，這樣就有可能使得作為未定型的分式的分子與分母所表示的函數(shù)，通過求導(dǎo)，而得到非未定型。這是一個基本的思路，我們有下面的定理：（1）兩個函數(shù)）兩個函數(shù)f（x）和）和g（x）在開區(qū)間（）在開區(qū)間（a，b）可微，并且在這個開區(qū)間上，）可微，并且在這個開區(qū)間上，g（x）的導(dǎo)數(shù)不等于）的

9、導(dǎo)數(shù)不等于0；（2）存在極限）存在極限Axgxfax???)()(lim0，其中其中A為一個有限的常數(shù)。為一個有限的常數(shù)。則在以下情況下：則在以下情況下：（3）0)(lim0???xfax和0)(lim0???xgax或者或者（3`）????)(lim0xgax那么就有那么就有???)()(lim0xgxfaxAxgxfax???)()(lim0。反過來在區(qū)間的另一個端點也存在相類似的結(jié)果。反過來在區(qū)間的另一個端點也存在相類似的結(jié)果。這