倒向隨機微分方程和Malliavin微分在金融中的應(yīng)用.pdf

1、Bismut在1973年研究隨機最優(yōu)控制的最大值原理時首次引入線性的倒向隨機微分方程，自從Pardoux和Peng給出了一般倒向隨機微分方程的解的存在唯一性.1992年，著名經(jīng)濟學(xué)家Duffic和Epstein也獨立的地引入了一類特殊類型的倒向隨機微分方程用以刻畫金融中的遞歸效用函數(shù)。倒向隨機微分方程成為隨機數(shù)學(xué)中迅速發(fā)展的一個分支，倒向隨機微分方程（以下簡稱BSDE）描述了針對一定的未來目標(biāo)（也可以不確定性的），來制定今天的決策，這與

2、金融市場中期貨期權(quán)的思想不謀而合.1997年，E1 Karoui，Quenez和Peng發(fā)現(xiàn)了它的在衍生證券的定價的的重要應(yīng)用前景，提供了描述金融數(shù)學(xué)問題的重要框架.Malliavin導(dǎo)數(shù)被研究了很多年，但自從分步積分公式發(fā)現(xiàn)以后，它被發(fā)現(xiàn)有著很多的應(yīng)用，尤其引人矚目的是在金融中的應(yīng)用，例如在亞式期權(quán)的定價中，在金融實務(wù)中常用的參數(shù)Greeks的計算中，一般不易給出顯示解，Malliavin導(dǎo)數(shù)的方法給了很好的辦法處理。 本文總

3、共分四章.第一章介紹BSDE的形式.從一些基本的市場假設(shè)出發(fā)很自然的引入BSDE，充分說明了BSDE可以作為描述金融問題的強大工具.為了方便應(yīng)用，采用了N.E1 Karoui，S.Peng and M.C.Quenez在一文中的解的存在唯一性的形式. 第二章引入Malliavin微分的定義，給出了一些很重要的或者后文中會用到的一些性質(zhì).特別對于分部積分公式，給出了適合我們應(yīng)用的形式，它在后面中計算Greeks時候起著關(guān)鍵作用.

4、 第三章N.E1 Karoui，S.Peng and M.C.Quenez在一文中給出了BSDE的解的Malliavin微分滿足一個新的BSDE，并且指出Yt的Malliavin導(dǎo)數(shù)是Zt的一個修正.因此我們可以用已有的有關(guān)價格過程（也稱財富過程）的結(jié)果，通過求它的Malliavin導(dǎo)數(shù)來得到投資策略，通過歐式看漲期權(quán)作為例子，我們看到這條定理的強大作用.在求解的過程中，為了更好的處理問題，我們使用了Girsanov變換，和推廣形

5、式的Clark-Oeone公式，擴散過程的馬氏性，這樣得到了波動率和擴散系數(shù)都是時間的函數(shù)的情況下的投資策略的顯示表達(dá)式.然后我們用類似的方法來處理股票價格是擴散更加一般的擴散過程的例子。 第四章，在金融實務(wù)中人們十分關(guān)心參數(shù)Greeks。在處理歐式看漲期權(quán)的情況下，本文首先用BSDE來描述問題，然后參考了Miquel Montero和Arturo Kohatsu-Higa的方法利用Malliavin導(dǎo)數(shù)的對偶原理和分部積分公式