多維反射倒向隨機(jī)微分方程和比較定理.pdf

1、本文研究的是多維反射倒向隨機(jī)微分方程(簡記為BSDE)解的存在唯一性，比較定理及其應(yīng)用。 眾所周知，BSDE是一個(gè)新興的研究方向，它的出現(xiàn)為研究金融數(shù)學(xué)，隨機(jī)最優(yōu)控制及偏微分方程等問題提供了有利的工具。如下的非線性BSDE-dY(t)=f(t，Y(t)，Z(t))dt-Z(t)dBt，YT=ξ 是由Pardoux和Peng于1990年在[1]中首先介紹的，后來Peng于1992年在[2]中證明了一維BSDE的比較定理，周

2、海濱于1999年在[3]中證明了一類多維BSDE的比較定理，證明方法是構(gòu)造了一個(gè)特殊的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是Buckdahn和Peng于1999年在[4]中首次介紹的。周海濱還將多維BSDE比較定理應(yīng)用于證明多維擬單調(diào)連續(xù)系數(shù)BSDE解的存在性。El.Karouietal在[5]中研究了帶一個(gè)障礙的一維反射BSDE，給出了一維情況下解的存在唯一性定理和比較定理，同時(shí)還在Markov框架下研究了一維反射BSDE與非線性拋物型偏微分方程的聯(lián)系。

3、 我們現(xiàn)在很自然的提出，如何建立多維反射BSDE的框架，建立之后，多維反射BSDE的解是否存在唯一，解的比較定理是否成立，是否也可以將多維反射BSDE的比較定理應(yīng)用于證明多維擬單調(diào)連續(xù)系數(shù)反射BSDE解的存在性? 本文共分四章。 第一章：引言，敘述前人所作的工作以及問題的由來。 第二章：受El.Karouietal[5]中一維反射BSDE模型的啟發(fā)，我們提出了如下的多維反射BSDE模型： 首先假定(

4、H2.1)ξ∈IL2n. (H2.2)f:Ω×[0，T]×Rn×Rn×d-→Rn，(y，z)∈Rn×Rn×d，f(·，y，z)∈H2n. (H2.3)|f(t，y，z)-f(t，y'，z')|≤C(|y-y'|+|z-z'|)，C＞0，y，y'∈Rn，z，z'∈Rn×d. 給出一個(gè)n維的障礙{S(t)，0≤t≤T}∈Rn滿足(H2.4){S(t)，0≤t≤T}∈Rn是一個(gè)連續(xù)的循序可測的Rn中的過程，并且滿足E(

5、sup|S+(t)|2)＜+∞，S(T)≤ξ。 這里S+(t)是一個(gè)Rn向量，它的第j個(gè)分量是S+j(t)。 稱(f，ξ，S)為一組標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)，如果它滿足假定(H2.1)-(H2.4).稱{(Y(t)，Z(t)，K(t))，0≤t≤T}是n維反射BSDE的一組解，如果它滿足(H2.5)Z(t)∈H2n×d，Y(t)∈S2n，K(T)∈L2n. (H2.6)Y(t)=ξ+∫Ttf(s，Y(s)，Z(s))ds+K(T

6、)-K(t)-∫TtZ(s)dBs. (H2.7)Y(t)≥S(t)，i.e.Yj(t)≥Sj(t)，j=1，2，…，n. (H2.8)K(t)∈Rn，0≤t≤T.K(t)的第j個(gè)分量記為Kj(t)，它是連續(xù)的增過程，滿足Kj(0)=0，∫T0(Yj(t)-Sj(t))dKj(t)=0，j=1，2，…，n. 這里Y(t)是一個(gè)Rn向量，它的第j個(gè)分量是Yj(t)。 多維模型同一維模型的區(qū)別主要體現(xiàn)在(H2

7、.7)和(H2.8)上，意味著僅當(dāng)Yj碰到障礙Sj時(shí)，用一個(gè)最小的推動(dòng)力Kj將Yj向上推動(dòng)，使之在障礙Sj上面運(yùn)動(dòng)。運(yùn)用[5]中相同的技術(shù)，我們證明了多維反射BSDE解的存在唯一性，即 定理2.1.當(dāng)(f，ξ，S)分別滿足假定(H2.1)-(H2.4)時(shí)，多維反射BSDE(f，ξ，S)存在著一組解(Y，Z，K)滿足(H2.5)-(H2.8)。 定理2.2.當(dāng)(f，ξ，S)分別滿足假定(H2.1)-(H2.4)時(shí)，至多有一

8、組循序可測的解(Y,Z,K)滿足(H2.5)-(H2.8)。 第三章：為了說明多維反射BSDE的比較定理，我們將兩個(gè)Rn中向量的比較定義為：a1≥a2(=)a1j≥a2j，j=1，2….，n.a1，a2∈Rn. 受El.Karouietal[5]中一維反射BSDE比較定理的啟發(fā)，我們首先作出如下類似的假定：(H3.1)ξi∈L2n. (H3.2)(y，z)∈Rn×Rn×d，fi(.，y，z)∈H2n，fi:Ω×[

9、0，T]×Rn×Rn×d-→Rn. (H3.3)|f2j(t，y，z)-f2j(t，y'，z')|≤C(|y-y'|+|z-z'|). (H3.4){Si(t)，0≤t≤T}∈Rn是連續(xù)的循序可測過程，并且E(sup0≤t≤T|Si+(t)|2)＜+∞，Si(T)≤ξi. (H3.5)Zi∈H2n，Zi∈Rn×d. (H3.6)Yi(t)=ξi+∫Ttfi(s，Yi(s)，Zi(s))ds+Ki(T)-K

10、i(t)-∫TtZi(s)dBs. (H3.7)Yi(t)≥Si(t). (H3.8){Kij(t)}是連續(xù)的增過程，并且滿足Kij(0)=0，∫T0(Yij(t)-Sij(t))dKij(t))=0，j=1，2，…，n. C.Geiβ和R.Manthey在[11]中給出多維隨機(jī)微分方程系數(shù)的擬單調(diào)條件，我們將這種擬單調(diào)條件應(yīng)用于多維反射BSDE生成元函數(shù)的比較，得到下面的結(jié)果 定理3.1.(fi，ξ,S

11、i)和(Yi，Zi，Ki)(i=1，2)滿足假定(H2.1)-(H2.8)，如果有(i)ξ1≤ξ2. (ii)f1j(t，y1，z1)≤f2j(t，y2，z2)，y1j=y2j，z1j=z2j，y1l≤y2l，l≠j. (iii)S1(t)≤S2(t). 則有Y1(t)≤Y2(t). 定理3.1的證明中我們采用了局部時(shí)的方法，此方法同樣適用于多維BSDE比較定理的證明，并且其證明過程簡潔新穎。 下

12、面考慮定理3.1中的條件(ii)能否換成更弱的條件(ii')f1j(t，y，z1)≤f2j(t，y，z2)，z1j=z2j. 我們首先舉了一個(gè)滿足條件(ii')但比較定理不成立的例子，然后舉了一個(gè)滿足條件(ii)時(shí)比較定理成立的例子。 第四章：有了多維反射BSDE解的存在唯一性和比較定理，我們就可以利用同[3]中相似的方法證明多維擬單調(diào)連續(xù)系數(shù)反射BSDE解的存在性。 首先引入可測函數(shù)f：f(t，ω，y，z):[

13、0，T]×Ω×Rn×Rn×d-→Rn，并做出如下假定：(H4.1)f的第j行只含z的第j行元素，即()g(t，ω，y，γ):[0，T]×Ω×Rn×Rd-→Rn，使得fj(t，ω，y，z)=gj(t，ω，y，zj)，(V)t∈[0，T]，ω∈Ω，y∈Rn，z∈Rnxd； (H4.2)線性增長性：()C0≥0，使得：|f(t，ω，y，z)|≤C0(1+|y|+|z|)，(V)t∈[0，T]，ω∈Ω，y∈Rn，z∈Rn×d.(H4.3

14、)連續(xù)性：對于固定的t，ω，f(t，ω，·，·)是連續(xù)的。 (H4.4)擬單調(diào)性：對于固定的t，ω，f(t，ω，·，z)是擬單調(diào)的，即對j=1，2….，n有fj(t，ω，y1，z)≤fj(t，ω，y2，z)，(V)y1，y2∈Rn，y1j=y2j，y1l≤y2l，l≠j. 進(jìn)而得到下面的結(jié)果定理4.1.假定f滿足(H4.1)-(H4.4)，并且ξ∈L2，S(t)∈S2，則存在一組解(Y，Z，K)滿足(H2.5)-(H2.