無(wú)窮區(qū)間多維反射倒向隨機(jī)微分方程和比較定理.pdf

1、本文研究的是無(wú)窮區(qū)間多維反射倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性，解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性以及比較定理。 眾所周知，倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)是一個(gè)新興的研究方向，它的出現(xiàn)為研究金融數(shù)學(xué)，隨機(jī)最優(yōu)控制以及偏微分方程等問(wèn)題提供了有利的工具。如下的非線性BSDE：-dY(t)=f(t，Y(t)，Z(t)dt-Z(t)dB<,t>，Y<,T>=ξ是由Pardoux和Peng于1990年在[1]中首先介紹的，后來(lái)Peng于1992年在[2]中證

2、明了一維BSDE的比較定理，彭實(shí)戈教授的學(xué)生周海濱于1999年在[3]中證明了一類多維BSDE的比較定理，證明方法是構(gòu)造了一個(gè)特殊的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是B’uckdahn和Peng于1999年在[4]中首次介紹的．E1．Karouietal在[5]中研究了帶一個(gè)障礙的一維反射BSDE，給出了一維情況下解的存在唯一性定理和比較定理，同時(shí)還在Markov框架下研究了一維反射BSDE與非線性拋物性偏微分方程的聯(lián)系．Hamadene,Lepelti

3、er，Wu把這種一維反射BSDE的區(qū)間擴(kuò)展到了無(wú)窮區(qū)間上，而肖華則在2005年的碩士畢業(yè)論文中把一維反射BSDE推廣到了多維的情況。 在這些基礎(chǔ)之上，我們現(xiàn)在很自然的提出，如何建立無(wú)窮區(qū)間上多維反射BSDE的框架，建立之后，無(wú)窮區(qū)間多維反射BSDE的解是否存在唯一，解對(duì)參數(shù)是否具有連續(xù)依賴性以及解的比較定理是否成立． 本文共分三章。 第一章：引言，敘述前人所作的工作以及問(wèn)題的由來(lái)。 第二章：在[6]中對(duì)一

4、維情況的證明以及[7]中對(duì)于反射BSDE從一維到多維的推廣的基礎(chǔ)上，我們提出了如下的無(wú)窮區(qū)間多維反射BSDE模型： 首先假定： (H2.1)ζ∈L<'2><,n>． (H2.2)f∶Ω×[0，∞]×R<'n>×R<'n×d>→R<'n>，f(，y，Z)是循序可測(cè)的(H2.3) 存在兩個(gè)正的確定的函數(shù)u(t)，u<,2>(t)，使得： ｜f(t，y，z)－f(t，y′，z′)｜≤u<,1>(t)｜y－y′｜

5、+u<,2>(t)｜z－z′｜其中t≥0，y，y′∈ R<'n>，z，z′∈R<'n×d>且有∫<'∞><,0> u<,1>(t)dt < ∞，∫<'∞><,0> u<'2><,2>(t)dt < ∞． 下面再給出一個(gè)n維障礙{S(t)，t≥0}∈R<'n>滿足： (H2.4)S(t)是連續(xù)的循序可測(cè)過(guò)程我們稱 (f，ζ，S)為一組標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)，若它滿足(H2.1)-(H2.4)，稱{Y(t)，Z(t)，K(t)，t≥0}

6、∈R<'n>×R<'n×d>×R<'n+>是無(wú)窮區(qū)間n維RBSDE的一組解，若它滿足： (H2.5)Y(t)∈S<'2><,n>，Z(t)∈H<'2><,n>，K(∞) ∈L<'2><,n>． (H2.6)Y(t)=ζ+∫<'∞><,t> f(s，Y(s)，Z(s))ds+K(∞)－K(t)－∫<'∞><,t> Z(s)dB<,s>． (H2.7)Y(t)≥S(t)，t≥0． (H2.8)K(t)是連續(xù)的

7、增過(guò)程，K(0)=0且∫<'∞><,0>(Y(t)－S(t))dK(t)=0． 這里Y(t)是一個(gè)R<'n>向量，它的第J個(gè)分量是Y<,j>(t)． 多維模型同一維模型的區(qū)別主要體現(xiàn)在(H2.7)和(H2.8)上，意味著僅當(dāng)Y<,j>碰到障礙S<,j>時(shí)，用一個(gè)最小的推動(dòng)力K<,j>將Y<,j>向上推動(dòng)，使之在障礙S<,j>上面運(yùn)動(dòng)。 以[6]與[7]對(duì)反射BSDE的證明為基礎(chǔ)，我們證明了無(wú)窮區(qū)間多維反射BSDE

8、解的存在唯一性，即定理 2.1；當(dāng)(f，ζ，S)滿足(H2.1)-(H2.4)的條件時(shí)，無(wú)窮區(qū)間多維RBSDE(f，ζ，S)存在著一組解(Y，Z，K)滿足條件(H2.5).(H2.8)且至多有一組循序可測(cè)的解。 有了解的存在唯一性，在這一章的最后，我們還證明了解對(duì)參數(shù)是具有連續(xù)依賴性和。 第三章：為了說(shuō)明無(wú)窮區(qū)間多維反射BSDE的比較定理，我們將兩個(gè)R<'n>中向量的比較定義為：由此得出了無(wú)窮區(qū)間多維BSDE的比較定理：

9、 定理3.1：設(shè)(f<'i>，ξ<'i>,s<'i>)和(Y<'i>，Z<'i>，K<'i>)，i=1，2，分別滿足條件H2.1)-(H2.8)，并且(i)ξ<'1>?！堞?'2>； (ii)f<'1><,j>(t，y<'1>，z<'1>)≤f<'2><,j>(t，y<'2>，z<'2>)，其中y<'1><,j>=y<'2><,j>，z<'1><,j>=z<'2><,j>≤y<'1><,j>,ι≠j； (iii)