帶反射邊界的倒向隨機(jī)微分方程解的收斂性.pdf

1、本文主要討論了帶有反射邊界的倒向隨機(jī)微分方程，當(dāng)參數(shù)在一定條件下收斂時(shí)，給出并證明了方程解的收斂性結(jié)果. 1990年，由Pardoux和彭給出了關(guān)于非線性倒向隨機(jī)微分方程(簡稱BSDE)奠基性的文章.進(jìn)而，彭在文獻(xiàn)中引入了倒向隨機(jī)微分方程關(guān)于生成元上解的概念，為此需要在方程中給定一個(gè)左極右連的增過程.然后此文給出了單調(diào)極限定理，即若一列左極右連的上解單調(diào)收斂，則在一定條件下極限也是一個(gè)上解.Karoui等人則研究了一類帶有反射邊

2、界的倒向隨機(jī)微分方程(簡稱RBSDE).該類方程事先給定障礙St，并在一定條件下證明了方程三元組解(yt，zt，Kt)的存在唯一性，其中解的一部分為一個(gè)增過程Kt起到推動(dòng)作用，使得解yt始終保持在障礙上方，同時(shí)滿足推動(dòng)作用最小.此類方程的解與普通的倒向隨機(jī)微分方程的解不同，也與文獻(xiàn)中的上解不同.本文則考慮該類帶反射邊界的倒向隨機(jī)微分方程解的收斂性. 本文首先在有限區(qū)間上考慮了參數(shù)為(fi，ξi，S)的一族RBSDE(i=1，2，

3、3，…)：{yit=ξi+∫Ttfi(s，yis，zis)ds+KiT-Kit-∫Tt(zis，dBs)，0≤t≤T；yit≥St，0≤t≤T；Kit為連續(xù)增過程，Ki0=0，并且∫T0(yit-St)dKit=0.(1) 上述方程在滿足一定的條件下，我們得到了反射倒向隨機(jī)微分方程解的收斂結(jié)果，這也是本文的主要工作： 定理3.1當(dāng)i→∞時(shí)，若(fi，ξi，S)→(f，ξ，S)，其中ξi在L2中收斂，且一致有界，(A)t∈

4、[0，T]，(y)∈R，(z)∈Rd，fi(t，(y),(z))在M2中收斂到f(t，(y)，(z))，并且fi(t，0，0)在M2中關(guān)于i一致有界，則對應(yīng)于方程的解，有：yit→yt(在S2中)，同時(shí)存在zt∈M2和增過程Kt，0≤t≤T，使得三元組(yt，zt，Kt)是下述以(f，ξ，S)為參數(shù)的方程的解：{yt=ξ+∫Ttf(s，ys，zs)ds+KT-Kt-∫Tt(zs，dBs)，0≤t≤T；yt≥St，0≤t≤T；Kt為連續(xù)增

5、過程，K0=0，并且∫T0(yt-St)dKt=0.(2) 其中zt是zit在M2中的強(qiáng)極限，對于每個(gè)t，Kt是Kit在L2中的極限. 隨后，Lepeltier等人(參見[5])對無窮區(qū)間上帶反射邊界的倒向隨機(jī)微分方程給出了解的存在唯一性結(jié)果，并研究了相應(yīng)的混合最優(yōu)控制問題.進(jìn)一步，在第四節(jié)中我們給出了無窮區(qū)間上帶反射邊界的倒向隨機(jī)微分方程解的收斂性質(zhì)，也即： 定理4.2當(dāng)i→∞時(shí)，若在L2(Ω，F(xiàn)，P)中，有如

6、下兩個(gè)收斂：ξi→ξ，(A)(y)∈R，(z)∈Rd，∫∞0fi(s，(y)s，(z)s)ds→∫∞0f(s，(y)s，(z)s)ds，同時(shí)，ξi，∫∞0fi(s，0，0)ds在L2中關(guān)于i一致有界，并且(A)t∈[0，∞]，yit在S2中關(guān)于i一致有界，則對應(yīng)于方程的解，有：yit→yt(在S2中)，同時(shí)存在zt∈M2和增過程Kt，0≤t≤∞，使得三元組(yt，zt，Kt)是下述以(f，ξ，S)為參數(shù)的方程的解： {yt=ξ+

7、∫∞tf(s，ys，zs)ds+K∞-Kt-∫∞t(zs，dBs)，t∈[0，∞]；yt≥St，t∈[0，∞]；Kt為連續(xù)增過程，K0=0，并且∫∞0(yt-St)dKt=0.(3) 其中zt是zit在M2中的強(qiáng)極限，對于每個(gè)t，Kt是Kit在L2中的極限. 最后，我們將問題進(jìn)一步延伸，考慮帶有上下兩個(gè)反射邊界的倒向隨機(jī)微分方程(參見[6])，在參數(shù)收斂條件下其解的收斂結(jié)果，得到了我們的定理5.2如下所述： 定理

8、5.2當(dāng)i→∞時(shí)，若(fi，ξii，U,L)→(f，ξ，U,L)，其中ξi在L2中收斂，且一致有界，(A)t∈[0，T]，(y)∈R，(z)∈Rd，fi(t，(y)，(z))在M2中收斂到f(t，(y)，(z)，并且fi(t，0，0)在M2中關(guān)于i一致有界.另外，(A)t∈[0，T]，增過程Ait在L2中收斂，且AiT關(guān)于i一致有界，則對應(yīng)于方程的解，有：yit→yt(在S2中)，同時(shí)存在zt∈M2和增過程Kt，At，使得四元組(yt，

9、zt，Kt，At)是下述以(f，ξ，S，U)為系數(shù)的方程的解： {yt=ξ+∫Ttf(s，ys，zs)ds+KT-Kt-(AT-At)-∫Tt(zs，dBs)，0≤t≤T；St≤yt≤Ut，0≤t≤T；Kt，At為連續(xù)的增過程，滿足K0=A0=0，KT∈L2，AT∈L2，并且∫T0(yt-St)dKt=∫T0(Ut-yt)dAt=0.(4) 其中zt是zit在M2中的強(qiáng)極限，對于每個(gè)t，Kt，At分別是Kit，Ait在L