抽象函數(shù)性質

1、1抽象函數(shù)性質綜述抽象函數(shù)性質綜述抽象函數(shù)型綜合問題，一般通過對函數(shù)性質的代數(shù)表述，綜合考查學生對于數(shù)學符號語言的理解和接受能力，考查對于函數(shù)性質的代數(shù)推理和論證能力，考查學生對于一般和特殊關系的認識.函數(shù)的周期性、對稱性一般與抽象函數(shù)結合，綜合函數(shù)的其它性質一起考查.函數(shù)的周期性要緊扣周期函數(shù)的定義.要注意，函數(shù)的周期性只涉及到一個函數(shù).函數(shù)的對稱性比較復雜，要分清是一個函數(shù)的對稱性，還是兩個函數(shù)的對稱性；分清是軸對稱還是中心對稱.一

2、、基本定義一、基本定義1、定義、定義1：（周期函數(shù)）對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得當取定義域的每一個值時，()fxTx都有，那么，函數(shù)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.()()fxTfx??()fxT2、定義、定義2：（同一函數(shù)圖象的對稱性）若函數(shù)圖象上任一點關于點（或直線）的對稱點仍)(xfy?Pl在函數(shù)的圖象上，則稱函數(shù)的圖象關于點（或直線）對稱.)(xfy?)(xfy?Pl3、定義、定義3：（兩個函數(shù)圖象的對稱性）

3、若函數(shù)圖象上任一點關于點（或直線）的對稱點在)(xfy?Pl函數(shù)的圖象上；反過來，函數(shù)圖象上任一點關于點（或直線）的對稱點也在函數(shù)()ygx?()ygx?Pl的圖象上，則稱函數(shù)與的圖象關于點（或直線）對稱.)(xfy?)(xfy?()ygx?Pl二、關于周期性、對稱性的幾個基本結論及證明二、關于周期性、對稱性的幾個基本結論及證明1、若函數(shù)的定義域為，且恒成立，則函數(shù)是以為周期)(xfy?R()()faxfxb???)(xfy?Tab??

4、的周期函數(shù)；2、若函數(shù)的定義域為，且恒成立，則函數(shù)的圖象關于直線)(xfy?R()()faxfbx???)(xfy?對稱；2abx??3、若函數(shù)的定義域為，且恒成立，則函數(shù)的圖象關于點)(xfy?R()()faxfbx????)(xfy?對稱；(0)2ab?4、若函數(shù)的定義域為，且恒成立，則函數(shù)是以為周)(xfy?R()()faxfxb????)(xfy?2()Tab??期的周期函數(shù)；5、若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)與的圖象關于直線對稱；)

5、(xfy?R()yfax??()yfbx??2bax??6、若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)與的圖象關于點對稱.)(xfy?R()yfax??()yfbx???(0)2ba?略證：略證：1、，函數(shù)是以為周期?()fxab??[()]fxba???[()]()fxbbfx?????)(xfy?Tab??的周期函數(shù).3和函數(shù)的圖象關于軸對稱.()yfmx??()yfmx??y6、若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于點對稱；而函數(shù))(xfy?)()(xmfx

6、mf????)(xfy?)0(m和函數(shù)的圖象關于原點對稱.()yfmx??()yfmx???7、若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于直線對稱；函數(shù))(xfy?()(2)fxfbx??)(xfy?xb?和函數(shù)的圖象也關于直線對稱.()yfx?(2)yfbx??xb?8、若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于點對稱；函數(shù)和)(xfy?()(2)fxfbx???)(xfy?(0)b()yfx?函數(shù)的圖象也關于點對稱.(2)yfbx???(0)b9、若函數(shù)滿足，

7、則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；若函數(shù))(xfy?()()fmxfxm???)(xfy?2Tm?滿足，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù).)(xfy?()()fmxfxm????)(xfy?4Tm?四、函數(shù)周期性與對稱性的關系四、函數(shù)周期性與對稱性的關系1、定義在上的函數(shù)若同時關于直線和對稱即對于任意的實數(shù)函數(shù)R()fxxa?()xbab??x同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期()fx()()faxfax???()()fbxfbx???()fx2(

8、)Tab??函數(shù).2、定義在上的函數(shù)若同時關于點和點對稱即對于任意的實數(shù)函數(shù)R()fx(0)a(0)()bab?x同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期()fx()()faxfax????()()fbxfbx????()fx2()Tab??函數(shù).3、定義在上的函數(shù)若同時關于直線和點對稱即對于任意的實數(shù)函數(shù)R()fxxa?(0)()bab?x同時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函()fx()()faxfax???()()fbxfbx????()

9、fx4Tab??數(shù).略證：略證：1、=?[2()]fxab??[(2)]faxab????[(2)]faxab????(2)fbx??，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù).[()]fbbx???[()]()fbbxfx?????)(xfy?2()Tab??2、3同理可證.五、函數(shù)周期性、對稱性與奇偶性的關系五、函數(shù)周期性、對稱性與奇偶性的關系1、定義在上的函數(shù)若同時關于直線和對稱即對于任意的實數(shù)函數(shù)同時R()fxxa?2xa?x()fx滿足，，則

10、函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).()()faxfax???(2)(2)faxfax???()fx2Ta?2、定義在上的函數(shù)若同時關于直線和點對稱即對于任意的實數(shù)函數(shù)同R()fxxa?(20)ax()fx時滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是奇()()faxfax???(2)(2)faxfax????()fx4Ta?函數(shù).3、定義在上的函數(shù)若同時關于點和直線對稱即對于任意的實數(shù)函數(shù)同R()fx(0)a2xa?x()fx時滿足，，