隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第七章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,前面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，我們看到分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。然而在許多實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)變量的分布并不容易求得，并且有時(shí)不需要去完全考察隨機(jī)變量的變化情況，而只需要知道隨機(jī)變量的某些特征，因而不需要求出它的分布函數(shù)。 例如 1、在評(píng)定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，在許多場(chǎng)合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量； 2、在研究水稻的品種優(yōu)劣時(shí)，時(shí)常是關(guān)心稻穗的平均稻谷粒數(shù)；,3、在檢查一批棉

2、花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的平均長(zhǎng)度，又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度，平均長(zhǎng)度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。 從上面的例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征。隨機(jī)變量的數(shù)字特征就是用數(shù)字表示隨機(jī)變量的分布特點(diǎn)，在理論和實(shí)踐上都具有重要的意義。,第七章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,第七章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,數(shù)學(xué)期望 方差和標(biāo)準(zhǔn)差 協(xié)方差和相關(guān)

3、系數(shù) 切比雪夫不等式及大數(shù)定理 中心極限定理,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,從平均數(shù)說(shuō)起，設(shè)以數(shù)據(jù)集,{2，3，2，4，2，3，4，5，3，2},為總體，求其平均數(shù)（設(shè)為μ）,μ=（2+3+2+4+2+3+4+5+3+2）/10,=（2×4+3×3+4×2+5×1）/10,=2×4/10+3×3/10+4×2/10+5×1

4、/10,=3,概括得：,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,下面我們逐步分析如何由分布來(lái)求“均值”：（1）算術(shù)平均：如果有n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn ，那么求這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均，只需將此n個(gè)數(shù)相加后除以n，即 （2）加權(quán)平均：如果這n個(gè)數(shù)中有相同的，不妨設(shè)其中有ni 個(gè)取值為xi(i=1,2,…,k)，列表為,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,其實(shí)，這個(gè)“加權(quán)”平均的權(quán)數(shù)n

5、i/n 就是出現(xiàn)數(shù)值 xi的頻率，而頻率在 n 很大時(shí)，就穩(wěn)定在其概率附近。,（3）對(duì)于一個(gè)離散隨機(jī)變量 X，如果其可能取值為x1,x2,…,xn ，若將這n個(gè)數(shù)相加后除以n作為“均值”，則肯定是不妥的，原因在于X 取各個(gè)值的概率是不同的，概率大的出現(xiàn)的機(jī)會(huì)就大，在計(jì)算中其權(quán)數(shù)就應(yīng)該大。,用取值的概率作為一種“權(quán)數(shù)”作加權(quán)平均是十分合理的。,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,1.定義 設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布律為,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,

6、為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，或稱為該分布的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值。,若級(jí)數(shù) 不收斂,則稱X的期望不存在。,如果,則稱,x1 x2 … xn …,p1 p2 … pn …,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,(1) X的期望E(X)是一個(gè)數(shù)，它形式上是X的可能值的加權(quán)平均，其權(quán)重是其相應(yīng)的概率，實(shí)質(zhì)上它體現(xiàn)了X取值的真正平均，為此我們又稱它為X的均值。因?yàn)樗耆蒟的分布所決定，

7、所以又稱為分布的平均值。,(2) E(X)作為刻劃X的某種特性的數(shù)值，不應(yīng)與各項(xiàng)的排列次序有關(guān)。所以，定義中要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。,注釋,所以A 的射擊技術(shù)較B的好.,,例:有甲，乙兩射手，他們的射擊技術(shù)如表所示，試問(wèn)哪一個(gè)射手本領(lǐng)較好？,解 甲射擊平均擊中環(huán)數(shù)為,乙射擊平均擊中環(huán)數(shù)為,例:某人有10萬(wàn)元現(xiàn)金，想要投資于某項(xiàng)目，余估成功的機(jī)會(huì)為30%，可得利潤(rùn)8萬(wàn)元，失敗的機(jī)會(huì)為70%，將損失2萬(wàn)元，若存入銀行，同期間的利率為5%，問(wèn)

8、是否作此項(xiàng)投資？,解 設(shè)x為投資利潤(rùn)，則,E(X)=8×0.3-0.7×2=1(萬(wàn)元),存入銀行的利息 10×5%=0.5（萬(wàn)元）,故應(yīng)選擇投資,例 設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為n，p二項(xiàng)分布，其分布律為,（k=0,1,2，……）（0<p<1）,則有,當(dāng)n=1時(shí) x服從二點(diǎn)分布b（l，p）的數(shù)學(xué)期望為p,例 泊松分布,設(shè)x~p（ ），且分布規(guī)律為,則有,例 幾何分布,設(shè)隨機(jī)變

9、量x的分布律為,則有,例: 設(shè)有某種產(chǎn)品投放市場(chǎng)，每件產(chǎn)品投放可能發(fā)生三種情況：按定價(jià)銷(xiāo)售出去，打折銷(xiāo)售出去，銷(xiāo)售不出去而回收。根據(jù)市場(chǎng)分析，這三種情況發(fā)生的概率分別為0.6，0.3，0.1。在這三種情況下每件產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為10元，0元，－15元（即虧損15元）。問(wèn)廠家對(duì)每件產(chǎn)品可期望獲利多少？,解: 設(shè)X表示一件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位元），X是隨機(jī)變量，且X的分布律為,依題意，所要求的是X的數(shù)學(xué)期望,E(X)=10×0.6+0&

10、#215;0.3+(-15)×0.1=4.5(元),7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2.幾種典型的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,i. X服從參數(shù)為p的(0,1)分布：,ii. 若X?b(n,p),則E(X)=np；,證明：X的分布律為,E(X)=0×(1-p)+1×p=p；,,X,,0,,1,,,,P,,q,,p,,,,,,,,,,,,,,,,,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2.幾種典

11、型的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,iii.若X?P(λ)，則E(X)=λ。 證明：X的分布律為,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,1.定義 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)， 如果 則稱 為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X).,例:設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,試求X的數(shù)學(xué)期望,解,例 顧客平均等待時(shí)間,設(shè)顧客在某銀行的窗口等待時(shí)間的服

12、務(wù)的時(shí)間x（以分記）服從指數(shù)分布，其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時(shí)間？,,解,因此顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù),7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2.幾種典型的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,i.若X?U(a,b),則 E(X)=(a+b)/2.,證：X的概率密度為,均勻分布結(jié)論：均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn),7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2.幾種典型的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

13、,證：X的概率密度為,ii.若X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則 E(X)=1/λ .,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2.幾種典型的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,證：X的概率密度為,iii. 正態(tài)分布 若X?N(µ,σ2)，則 E(X)=μ.,特別地，若X?N(0,1)，則E(X)=0.,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,三、隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))，

14、(1) X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為P{X=xk}=pk ，k=1，2，…， 若 絕對(duì)收斂， 則有,(2)  X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為f(x)， 若 絕對(duì)收斂， 則有,例 先求,則有,例 已知隨機(jī)變量的分布律如下求解,,,0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,,-2 -1

15、 0 1 2,,,,,,,,,,0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,,,,,,0.1 0.4 0.5,,0 1 4,,,,對(duì)相同的值合并，并把對(duì)應(yīng)的概率相加，可得,所以,或,的數(shù)學(xué)期望。,的分布律為,例：某公司生產(chǎn)的機(jī)器其無(wú)故障工作時(shí)間X有密度函數(shù),公司每出售一臺(tái)機(jī)器可獲利1600元,若機(jī)器售出后使用1.2萬(wàn)小時(shí)之內(nèi)出故障,則應(yīng)予以更換,這時(shí)每臺(tái)虧損1200元

16、;若在1.2到2萬(wàn)小時(shí)之間出故障,則予以維修,由公司負(fù)擔(dān)維修費(fèi)400元;在使用2萬(wàn)小時(shí)以后出故障,則用戶自己負(fù)責(zé).求該公司售出每臺(tái)機(jī)器的平均獲利.,解:,設(shè)Y表示售出一臺(tái)機(jī)器的獲利.則,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,三、隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,定理:設(shè)Z是隨機(jī)變量X,Y的函數(shù)Z=g(X,Y) (g是連續(xù)函數(shù)).,(1)設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布律為,(2)設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度為f(x,y),若,若,則,則,例:

17、 設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布律如下，Z=XY，求E(Z).,解,,X,Y,,,1 2 3,,,,,,,0,1,0.1,0.15 0.25,,0.25 0.15 0.1,,,,,,,,,,,,,,例 設(shè)（x，y）的分布規(guī)律為,求E(X),E(Y),E(Y/X),,解：X的分布規(guī)律 得,Y的分布律為得,由于于是得,例：設(shè)(X

18、，Y)服從A上的均勻分布,其中A為由x軸，y軸及直線x+y/2=1圍成的平面三角形區(qū)域,求E(XY),解：,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),1.若C是常數(shù),則 E(C)=C.,2.設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,若E(X),E(Y)存在,則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a、b, E(aX+bY)存在,且有 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),3.設(shè)X,Y是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有

19、 E(XY)=E(X)E(Y)性質(zhì)2、3都可推廣到有限個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量之積 的情況.,例 一民航送客車(chē)載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出，旅客有10個(gè)車(chē)站可以下車(chē)，如到 達(dá)一個(gè)車(chē)站沒(méi)有旅客下車(chē)就不停車(chē)，以x表示停車(chē)的次數(shù)，求E（x）（設(shè)每位旅客在各個(gè)車(chē)站下車(chē)是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車(chē)相互獨(dú)立）解： 引入隨機(jī)變量xi則

20、 i=1,2，……10由此,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),性質(zhì)2 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),證明 (1)設(shè)離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布列和邊緣分布列分別為,P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,…P{X=xi}=pi., i=1,2,…P{Y=yj}=p.j, j=1,2,…,則,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),性質(zhì)2 E(a

21、X+bY)=aE(X)+bE(Y),(2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為f(x,y)和fX(x), fY(y),則,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),性質(zhì)3 如X,Y是互相獨(dú)立,則 E(XY)=E(X)E(Y),證明 (1)設(shè)離散型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為,P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,…P{X=xi}=pi., i=1,2

22、,…P{Y=yj}=p.j, j=1,2,…,則,7.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),性質(zhì)3 如X,Y是互相獨(dú)立,則 E(XY)=E(X)E(Y),(2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度和邊際概率密度分別為f(x,y)和fX(x), fY(y),則,例：將n個(gè)球隨機(jī)地放入M個(gè)盒子中去，設(shè)每個(gè)球放入各個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望,解：,記,i=1,2,…,M,則,P(第i個(gè)盒無(wú)球),因而,例:

23、 拋擲6顆骰子，X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和，求E(X).,從而由期望的性質(zhì)可得,練習(xí),例 你知道自己該交多少保險(xiǎn)費(fèi)嗎？根據(jù)生命表知，某年齡段保險(xiǎn)者里，一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，現(xiàn)在有10000個(gè)這類(lèi)人參加保險(xiǎn)，若在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金。問(wèn)每個(gè)人一年需交保險(xiǎn)費(fèi)多少元？解：設(shè)1年中死亡人數(shù)為x，則x~b（10000,0.002）被保險(xiǎn)人所的賠償金的期望值應(yīng)為 若設(shè)每人一年需交保險(xiǎn)費(fèi)為a元

24、由被保險(xiǎn)人交的“純保險(xiǎn)費(fèi)”與他們所能得到的賠償?shù)钠谕迪嗟葧r(shí)故每人一年應(yīng)向保險(xiǎn)公司交保險(xiǎn)費(fèi)4元。,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,引例 有兩批鋼筋(每批10根)它們的抗拉強(qiáng)度為：,第一批 110,120,120,125,125,125,130,130,135,140,第二批 90,100,120,125,125,130,135,145,145,145,可以計(jì)算出兩批數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是 126, 但直觀上第二批數(shù)據(jù)與平均數(shù)126有較大的偏

25、離,因此, 欲描述一組數(shù)據(jù)的分布,單單有中心位置的指標(biāo)是不夠的,尚需有一個(gè)描述相對(duì)于中心位置的偏離程度的指標(biāo).,通?？捎肊[X-E(X)]2描述相對(duì)于期望的偏離,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,一、方差的定義,定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E[X-E(X)]2存在，則稱 E[X-E(X)]2 為X的方差，記為D(X) ， 即: D(X)=E[X-E(X)]2注釋：(1)方差是隨機(jī)變量X與其 “中心”E(X)的偏差

26、平方的平均。它表達(dá)了X的取值與其期望值E(X)的偏離程度。若 X 取值較集中，則D(X)較小，反之，若取值較分散，則D(X)較大。 (2)應(yīng)用上，常用量 ，稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為 ?(X)= 。,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,二、方差的計(jì)算公式,方差實(shí)際上是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.于是,(1)對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,若P{X=xk}=pk,k=1,2,…則,(2)對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X

27、,若其概率密度為f(x),則,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,二、方差的計(jì)算公式,(3) D(X)=E(X2)-[E(X)]2 證明：D(X)=E[X-E(X)]2 =E(X2-2X·E(X)+[E(X)]2),=E(X2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2,=E(X2)-[E(X)]2,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,三、常見(jiàn)分布的方差,1. （0-1）分布的方差,定理：若P{X=0}=q,P{X=1}=p,則

28、 D(X)=pq.,證明,,X,,0,,1,,,,P,,q,,p,,,,,,,,,,,,,,,,,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,三、常見(jiàn)分布的方差,2. 二項(xiàng)分布的方差,定理:若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B(n,p),則 D(X)=npq.,證明,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,三、常見(jiàn)分布的方差,3. 泊松分布的方差,定理：設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布X~P(λ),則 D(X)=λ.,證明,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,三、常見(jiàn)分布的

29、方差,4. 均勻分布的方差,定理:設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布X~U(a,b),則 D(X)=(b-a)2/12.,證明,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,三、常見(jiàn)分布的方差,5. 指數(shù)分布的方差,,定理:設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ 的指數(shù)分布,則,證明,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,三、常見(jiàn)分布的方差,6. 正態(tài)分布的方差,定理:設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X~N(μ,σ2) , 則 D(X)=σ2,證明,7.2

30、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,常見(jiàn)分布的期望和方差表,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,四、方差的性質(zhì),假定以下所遇到的隨機(jī)變量的方差存在: (1) 設(shè)C是常數(shù)，則 D(C)=0；(2) 設(shè)X是隨機(jī)變量，a是常數(shù)，則D(aX)=a2D(X),從而 D(aX+b)=a2D(X)；(3) 設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有 D(X?Y)=D(X)+D(Y)；,(2) 證: D(aX+b)=E{[(aX+b)-E(aX+b)]2}

31、 = E{[(aX+b)-E(aX)-b]2} = E{[aX-E(aX)]2} =E{[a(X-E(X))]2 } =a2E{[X-E(X)]2} =a2D(X),7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,由于X，Y相互獨(dú)立，X－E(X)與Y－E(Y)也相互獨(dú)立，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)， 2E{[X-E(X)][

32、Y-E(Y)]}=2E[X-E(X)]?E[Y-E(Y)]=0 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y).,四、方差的性質(zhì),(3)證: D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2} =E{[(X-E(X))+(Y-E(Y))]2} =E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2} +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]},這一性質(zhì)可以推廣

33、到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況。,7.2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差,四、方差的性質(zhì),若,相互獨(dú)立，,為常數(shù),則,若X ,Y 相互獨(dú)立,,,,,例 設(shè)X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布，E(X)=μ,D(X1)=σ2.,記,若用X1,X2,…,Xn表示對(duì)某物件重量的n次重復(fù)測(cè)量的誤差,而σ2為測(cè)量誤差大小的度量，公式 表明n次重復(fù)測(cè)量的平均誤差是單次測(cè)量誤差的1/n，換言之，重復(fù)測(cè)量的平均精度比單次測(cè)量的精度高.,

34、證明:,證,注,已知 X 的 概率密度函數(shù)為,其中 A ,B 是常數(shù)，且 E (X ) = 0.5.,求 A ,B. 設(shè) Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y ),練習(xí),解 (1),,,,,(2),例 設(shè)隨機(jī)變量x具有概率密度 求D（x）解：方差D（x）作為分散程度的一個(gè)指標(biāo)，有一個(gè)缺陷，即方差的單位是x單位的平方，為

35、單位一致，常用衡量分散程度的另一指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差,一般的稱 為x的k階原點(diǎn)矩，稱 為x的k階中心距，其中k為正整數(shù)。例如期望E(x)是一階原點(diǎn)矩，方差D(x)是二階中心距。實(shí)際應(yīng)用中，高于4階的矩很少使用，三階中心距主要用來(lái)衡量隨機(jī)變量的分布是否有偏。四階中心距 主要用來(lái)衡量隨機(jī)變量的分布在均值附近的陡峭程度如何。D（x）大，E(x)的代表

36、性差，D（x）值小，E(x)代表性好。,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),引 言,對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)期望E(X)、E(Y)只反映了X與Y各自的平均值,方差只反映了X與Y各自離開(kāi)均值的偏離程度,它們對(duì)X與Y之間相互關(guān)系不提供任何信息.,但二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布律pij全面地描述了(X,Y)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,也包含有X與Y之間關(guān)系的信息.我們希望有一個(gè)數(shù)字特征能夠在一定程度上反映這種聯(lián)系.,7.3 協(xié)方差與相

37、關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差,定義：設(shè)二隨機(jī)向量(X,Y)的數(shù)學(xué)期望(E(X),E(Y))存在,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,則稱它為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差,記為cov(X,Y),即cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))],若X，Y為連續(xù)型隨機(jī)變量,(1)用定義求：若X，Y為離散型隨機(jī)變量,計(jì)算,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差,① 協(xié)方差有計(jì)算公式Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),(2)

38、用公式求,證 由協(xié)方差的定義及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，得,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差,② 任意兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的和的方差 D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y),(2)用公式求,證 由方差公式及協(xié)方差的定義，得,例,設(shè)（X，Y）有聯(lián)合分布律,,,,,,Y,,X,01,∑,,∑,0,1,1/4,1/4,1/3,1/6,7/12,5/12,1/2,1/2,1,求 cov(X，Y）.,解

39、,E（X）=0×1/2+1×1/2=1/2,E（Y）=0×7/12+1×5/12=5/12,E（XY）=1×1/6=1/6,cov(X,Y)=E（XY）- E（X）E（Y）,=1/6-5/24,=1/24,例: 設(shè)(X，Y)～N(μ1, μ2 ,σ12, σ22,ρ)，求cov(X,Y),Y～N(μ2,σ22)，,解: X～N(μ1,σ12),,E(X)=μ1, D(X)=σ12；,E(

40、Y)=μ2, D(X)=σ22；,令,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差,(1) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)；,(3) Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)，,a,b,c,d為常數(shù)；,(2) Cov(X,X)= D(X)；,性質(zhì),證 Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = E[(Y-E(Y)) (X-E(X))] = Cov(Y,X)

41、,證 Cov(aX+b,cY+d)=E[(aX+b-E(aX+b))(cY+d-E(cY+d))] =E{[a(X-E(X))][c(Y-E(Y))]} =acE{[X-E(X)][Y-E(Y)]} =acCov(X,Y),7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),二、相關(guān)系數(shù),定義:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的方差D(X)>0,D(Y)>0

42、,協(xié)方差Cov(X,Y)均存在,則稱,為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差.,一般地，數(shù)學(xué)期望為0，方差為1的隨機(jī)變量的分布稱為標(biāo)準(zhǔn)分布，故ρXY又稱為標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差。,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),二、相關(guān)系數(shù),性質(zhì),1. |ρXY|≤1；,3. |ρXY|=1， 稱之為X與Y完全相關(guān)，其充要條件為,存在常數(shù)a,b使得P{Y=aX+b}=1.,2. ρXY=0，稱之為X與Y不相關(guān)；,意義: |ρXY|=1當(dāng)且僅當(dāng)Y跟X幾乎有線性關(guān)系。這在

43、一定程度上說(shuō)明了相關(guān)系數(shù)的概率意義。ρXY并不是刻畫(huà)X，Y之間的“一般”關(guān)系，而只是刻畫(huà)X，Y之間線性相關(guān)的程度。,說(shuō)明： 假設(shè)隨機(jī)變量X，Y的相關(guān)系數(shù)ρXY存在，當(dāng)X與Y相互獨(dú)時(shí),ρXY=0,即X與Y不相關(guān)，反之若X與Y不相關(guān)，X與Y卻不一定相互獨(dú)立。,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),二、相關(guān)系數(shù),,,,,,,,o,X,Y,,,,,o,,,o,o,X,X,X,Y,Y,Y,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0

44、<ρ<1,-1<ρ<0,ρ =1,ρ =-1,相關(guān)情況示意圖,解 X與Y的分布律分別為,例：二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律如下表，求,，,解,例 設(shè)(X,Y)服從二元正態(tài)分布N(μ1,μ2 ,σ12,σ22,ρ) ，則,因?yàn)?(X,Y)~ N(μ1,μ2 ,σ12,σ22,ρ) 且 ，所以,證 (1) 必要性,X~ N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22),所以,故X與Y相互獨(dú)立,證 (2)

45、 充分性,因?yàn)閄,Y相互獨(dú)立所以, f(x,y)=f(x)f(y),所以 ρ=0,小結(jié)：結(jié)論1：X與Y相互獨(dú)立 ? ρXY=0 ? X與Y不相關(guān)； 反之，ρXY=0 不能推出X與Y相互獨(dú)立。結(jié)論2：對(duì)任意X與Y，以下結(jié)論等價(jià)ρXY=0 ? Cov(X,Y)=0 ? E(XY)=E(X)E(Y) ? D(X+Y)=D(X)+D(Y)。結(jié)論3：若(X，Y)～N(μ1, μ2 ,σ12, σ22,ρ)，

46、則X與Y相互獨(dú)立 ? ρXY=0 ? X與Y不相關(guān)。,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),三、隨機(jī)變量的矩,定義:設(shè)X和Y是隨機(jī)變量,(1)若E(Xk)(k=1,2,…)存在,則稱它為X的k階原點(diǎn)矩,簡(jiǎn)稱k階矩.(2)若E{[X-E(X)]k} (k=1,2,…)存在,則稱它為X的k階中心矩.,例如：,期望是一階原點(diǎn)矩，方差D（X）是二階中心矩,(3)對(duì)正整數(shù)k與l，稱E(XkYl)為X和Y的k+l階混合矩；(4)

47、若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}存在，稱它為X和Y的k+l 階混合中心矩。,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),三、隨機(jī)變量的矩,協(xié)方差的計(jì)算公式性質(zhì),7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),三、隨機(jī)變量的矩,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)結(jié)論（1）二維正態(tài)分布密度函數(shù)中，參數(shù) 代表了x與y的相關(guān)的系數(shù)（2）二維正態(tài)隨機(jī)變量x與y相關(guān)系數(shù)為零等價(jià)于x與y相互獨(dú)立。,例 設(shè)

48、 ，試求x與y的相關(guān)系數(shù)。 解：由,故于是,結(jié)論（1）二維正態(tài)分布密度函數(shù)中，參數(shù) 代表了x與y的相關(guān)的系數(shù)（2）二維正態(tài)隨機(jī)變量x與y相關(guān)系數(shù)為零等價(jià)于x與y相互獨(dú)立。,例 已知隨機(jī)變量x，y分別服從N（1,3^2）,N(0,4^2)， 設(shè)z=x/3+y/2（1）求z的數(shù)學(xué)期望與方差（2）求x與z的相關(guān)系數(shù)（3）問(wèn)x與z是否相互獨(dú)立？為什么？

49、解：1）由E（x）=1，D（x）=9，E（y）=0，D（y）=16 得,2）故3）由二維正態(tài)隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)為零和相關(guān)獨(dú)立兩者是等價(jià)的結(jié)論，可知x與z是相互獨(dú)立的。注意：1）不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系 2）不相關(guān)的充要條件：,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),三、隨機(jī)變量的矩,推廣 對(duì)于n維隨機(jī)向量(X1,X2,…,Xn),把向量(X1,X2,…,Xn)用列向量形式表示并記為X，即

50、X=(X1,X2,…,Xn)?。 定義 設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)? 為n維隨機(jī)向量,并記μi=E(Xi)，,則稱μ=(μ1,μ2,…,μn)?為向量X的數(shù)字期望或均值，稱矩陣,為向量X的協(xié)方差矩陣。,7.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),cij=Cov(Xi,Xj)=E{[Xi -E(Xi)][Xj -E(Xj )]},,例: 設(shè)(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),求X和Y的協(xié)方差矩陣.,解,7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,(

51、1) 事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù).,(2) 在實(shí)踐中人們還認(rèn)識(shí)到大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.,現(xiàn)象：,7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,一、伯努利大數(shù)律,設(shè) X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,具有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2(k=1,2,…),則對(duì)于任意給定的ε>0,恒有,其中,若上式對(duì)任何ε>0成立，則稱 依概率收斂于μ，且可表示

52、為,7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,一、伯努利大數(shù)律,例如:,意思是:當(dāng),,,a,,,,,,,,,,,,,,,,而,意思是:,時(shí),Xn落在,內(nèi)的概率越來(lái)越大.,,當(dāng),7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,切比雪夫(Chebyshev)不等式: 設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,則對(duì)于任意正數(shù)ε,有,二、切比雪夫(Chebyshev)不等式,7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,證明 (1)設(shè)X的概率密度為p(x)

53、,則有,(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xk}=pk,則有,二、切比雪夫(Chebyshev)不等式,例:在供暖的季節(jié),住房的平均溫度為20度,標(biāo)準(zhǔn)差為2度,試估計(jì)住房溫度與平均溫度的偏差的絕對(duì)值小于4度的概率的下界.,解,例 設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且有如下分 布律是否滿足切比雪夫定理？解：獨(dú)立性依題意可知，檢驗(yàn)是否具有數(shù)學(xué)期望說(shuō)明每一個(gè)隨

54、機(jī)變量都具有數(shù)學(xué)期望，檢驗(yàn)是否具有有限方差說(shuō)明離散型隨機(jī)變量有有限方差,7.4 切比雪夫不等式及大數(shù)律,三、切比雪夫(Chebyshev)大數(shù)定律,設(shè) X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,具有數(shù)學(xué)期望E(Xi) 和方差 D(Xi) [i=1,2,...].若存在常數(shù) C,使得D(Xi)≤C(i=1,2,…),則對(duì)于任意給定的 ε>0, 恒有,證明,7.5 中心極限定理,在一定條件下,許多隨機(jī)變量的極限分布是正態(tài)分布:

55、 “若一個(gè)隨機(jī)變量X可以看著許多微小而獨(dú)立的隨機(jī)因素作用的總后果,每一種因素的影響都很小,都有不起壓倒一切的主導(dǎo)作用,則X一般都可以認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布.”,例如對(duì)某物的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量,在測(cè)量時(shí)有許多隨機(jī)因素影響測(cè)量的結(jié)果.如溫度和濕度等因素對(duì)測(cè)量?jī)x器的影響,使測(cè)量產(chǎn)生誤差X1;測(cè)量者觀察時(shí)視線所產(chǎn)生的誤差X2;測(cè)量者心理和生理上的變化產(chǎn)生的測(cè)量誤差X3;…顯然這些誤差是微小的、隨機(jī)的,而且相互沒(méi)有影響.測(cè)量的總誤差是上述各個(gè)因素產(chǎn)生的

56、誤差之和,即∑Xi.,7.5 中心極限定理,一般地,在研究許多隨機(jī)因素產(chǎn)生的總影響時(shí),很多可以歸結(jié)為研究相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的分布問(wèn)題,而通常這種和的項(xiàng)數(shù)都很大.因此,需要構(gòu)造一個(gè)項(xiàng)數(shù)越來(lái)越多的隨機(jī)變量和的序列:,我們關(guān)心的是當(dāng)n→∞時(shí),隨機(jī)變量和∑Xi的極限分布是什么?,7.5 中心極限定理,設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立且每個(gè)都服從(0-1)分布(P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p),現(xiàn)在來(lái)求,Yn= X1+

57、X2+…+Xn,這里每個(gè)Xi只能取0，1，,的分布,Yn只能取0，1，…，n,即Yn服從B（n,p）,7.5 中心極限定理,設(shè)X1,X2,…,Xn同分布，且Xi~B(1,p)，則,推論：,如果X與Y獨(dú)立，且X~B(m,p), Y~B(n,p),則 X+Y~ B(m+n,p),即二項(xiàng)分布具有可加性.,7.5 中心極限定理,一、棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,(De Moivre-Laplace中心極限定理):設(shè)X1，X2

58、，…是一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且Xi~B(1,p)(i=1,2,…), Yn= X1+X2+…+Xn,則對(duì)任意一個(gè)x，-∞<x-< +∞總有,注： 由此定理可知：當(dāng)n很大時(shí)，可以認(rèn)為Yn近似服從正態(tài)分布N（np,np(1-p)）,例 設(shè)一車(chē)間里400臺(tái)同型號(hào)的機(jī)器，工作時(shí)每臺(tái)機(jī)器需要用電為Q瓦.由于工藝關(guān)系，每臺(tái)機(jī)器并不連續(xù)開(kāi)動(dòng)，開(kāi)動(dòng)的時(shí)間只占工作總時(shí)間的3/4.假定各機(jī)器工作是相互獨(dú)立，問(wèn)應(yīng)該供應(yīng)多少瓦電力才能以

59、99%的的概率保證該車(chē)間的機(jī)器正常工作？,解 令X為400臺(tái)機(jī)器中同時(shí)工作的機(jī)器數(shù),則 X~B（400，3/4），,設(shè)應(yīng)供應(yīng)x瓦電力,例 一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次海浪的沖擊，縱搖角大于 的概率為1/3，若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問(wèn)其中有29500~30500次縱搖角大于 的概率是多少？解：將船舶每遭受一次海浪的沖擊看做一次試驗(yàn)，并假設(shè)各次試驗(yàn)是獨(dú)立的，在90000次波浪沖擊中縱搖角大于 的次數(shù)

60、為x，則x是一個(gè)隨機(jī)變量，且x~b（90000,1/3）分布率為所求概率為直接計(jì)算比較麻煩，利用拉普拉斯,如果在棣莫弗——拉普拉斯中心極限定理中去掉xi服從B（1，p）分布的限制只保留xi（i=1,2，……）獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè) 是一個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且 則對(duì)任意一個(gè)x，

61、 總有,7.5 中心極限定理,二、獨(dú)立同分布的中心極限定理,設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立，服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望和方差 E(Xk)=µ，D(Xk)=σ2≠0,(k=1,2,…) 則隨機(jī)變量,的分布函數(shù)Fn(x),對(duì)于任意x滿足,例:為了測(cè)定一臺(tái)機(jī)床的質(zhì)量,把它分解成75個(gè)部件來(lái)稱量.假定每個(gè)部件的稱量誤差(單位:kg)服從區(qū)間(-1,1)上的均勻分布,且每個(gè)部件的稱量誤差相互獨(dú)立,試求機(jī)床重量的總誤差

62、的絕對(duì)值不超過(guò)10kg的概率.,解 設(shè)第i個(gè)部件的稱量誤差為Xi(i=1,2,…,75),由題意知Xi相互獨(dú)立且都服從區(qū)間（-1，1）上的均勻分布，并有,E(Xi)=0,,D(Xi)=1/3,(i=1,2,..,75).,由獨(dú)立同分布的中心極限定理，可以近似地認(rèn)為,于是，所求概率為,一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk(k=1,2,…,20),它們相互獨(dú)立且都在區(qū)間[0,10]上服從均勻分布,噪聲電壓總和V=V1+V2+…+V20,求P