差分方程和數(shù)值微分

1、,差分方程和數(shù)值微分,差分方程 ~ 離散時段上描述變化過程的數(shù)學(xué)模型,一年期存款年利率為r，存入M， 記第k年本息為xk,,n年后本息為,,污水處理廠每天將污水濃度降低比例q, 記第k天的污水濃度為ck ,,離散動態(tài)過程（系統(tǒng)），實際的變化可以是連續(xù)的,天后污水濃度降低一半,一階線性常系數(shù)差分方程 高階線性常系數(shù)差分方程 線性常系數(shù)差分方程組,,數(shù)值微分簡介,建立離散動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型; 用MATLAB計算數(shù)值解; 作理論分析(

2、平衡點及其穩(wěn)定性).,差分方程,例1 瀕危物種(Florida 沙丘鶴)的自然演變 和人工孵化,一階線性常系數(shù)差分方程,在較好自然環(huán)境下，年平均增長率為1.94% 在中等自然環(huán)境下，年平均增長率為-3.24% 在較差自然環(huán)境下，年平均增長率為-3.82%,如果在某自然保護(hù)區(qū)內(nèi)開始有100只鶴，建立描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作數(shù)值計算.,生態(tài)學(xué)家估計,如果每年人工孵化5只鶴放入該保護(hù)區(qū)，在中等自然環(huán)境下鶴的數(shù)量將如何變化?,模

3、型及其求解,例1 瀕危物種(Florida 沙丘鶴)的自然演變 和人工孵化,記第k年沙丘鶴的數(shù)量為xk，自然環(huán)境下年平均增長率為r,設(shè)每年人工孵化的數(shù)量為b，,結(jié)果分析,例1 瀕危物種(Florida 沙丘鶴)的自然演變 和人工孵化,時間充分長后(k→∞)沙丘鶴數(shù)量的變化趨勢,a>1(r>0)時xk→∞, a<1(r<0)時xk→0,自然環(huán)境下,在中等及較差的自然環(huán)境下沙丘鶴將瀕于滅絕。,人工孵化條件

4、下,a<1(r<0)時xk→x=b/(1-a),x=5/0.0324=154.32,一階線性常系數(shù)差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性,差分方程的一般形式,,差分方程的平衡點 ~代數(shù)方程 x=ax+b 的根 x=b/(1-a),,差分方程的解,c= x0-b/(1-a)由初始值x0 和a、b確定,若k→∞時xk→x, 平衡點x穩(wěn)定, 否則平衡點x不穩(wěn)定,平衡點穩(wěn)定的充要條件是 ?a ?<1,,高階線性常系數(shù)差分方程,例2 一年

5、生植物的繁殖,一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產(chǎn)種。沒有腐爛、風(fēng)干、被人為掠去的那些種子可以活過冬天，其中的一部分能在第二年春季發(fā)芽，然后開花、產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過一個冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開花、產(chǎn)種，如此繼續(xù)。 一年生植物只能活一年，且近似地認(rèn)為，種子最多可以活過兩個冬天。,建立數(shù)學(xué)模型研究植物數(shù)量的變化規(guī)律，及它能夠一直繁殖下去的條件.,模型及其求解,例2 一年生植

6、物的繁殖,設(shè)一棵植物平均產(chǎn)種數(shù)為c, 種子能夠活過冬天的比例為b, 活過冬天的那些種子在來年春季發(fā)芽的比例為a1，未能發(fā)芽的那些種子又活過一個冬天的比例仍為b, 在下一年春季發(fā)芽的比例為a2。,xk~第k年的植物數(shù)量,設(shè)今年種下(并成活)的數(shù)量為x0,記 p= -a1bc, q= -a2b(1-a1) bc,尋找形如xk=?k的解,設(shè)c=10， a1=0.5，a2=0.25，b=0.18, 0.19, 0.20，x0=100,模型

7、及其求解,例2 一年生植物的繁殖,,特征方程,特征根,,,差分方程,常數(shù)c1, c2由x0, x1確定,差分方程的解,,,,??1, 2?<1時xk?0 (k??),??1, 2? >1時xk?? (k??),植物能夠一直繁殖下去的條件為b>0.191,高階線性常系數(shù)差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性,,,?1, ?2, …?n,,c1, …,c n由初始值x1, …,x n確定,特征方程,特征根,平衡點,差分方程的解,平衡

8、點穩(wěn)定的條件: 所有特征根的模小于1,線性常系數(shù)差分方程組,例3 汽車租賃公司的運營,汽車租賃公司在3個相鄰的城市運營，在一個城市租賃的汽車可以在任意一個城市歸還.,在A市租賃在A, B, C市歸還的比例分別為0.6, 0.3, 0.1在B市租賃在A, B, C市歸還的比例分別為0.2, 0.7, 0.1在C市租賃在A, B, C市歸還的比例分別為0.1, 0.3, 0.6,公司開業(yè)時將600輛汽車平均分配到3個城市，建立運營中

9、汽車數(shù)量在3個城市間轉(zhuǎn)移的模型，討論時間充分長以后的變化趨勢.,例3 汽車租賃公司的運營,模型及其求解,,x1(k), x2(k), x3(k)~第k個租賃期末公司在A, B, C市的汽車數(shù)量,x(k)=[x1(k), x2(k), x3(k)]T,,,開始時600輛汽車平均分配到3個城市,開始時600輛汽車全分配給A市,例 汽車租賃公司的運營,模型及其求解,時間充分長后3個城市的汽車數(shù)量趨向穩(wěn)定，穩(wěn)定值與初始分配無關(guān),例 汽車

10、租賃公司的運營,模型及其求解,設(shè)穩(wěn)定值為x,,矩陣A的一個特征根 ?=1，且x是對應(yīng)的特征向量。,A各列之和均為1,A有特征根 ?=1,x可由 Ax=x, x1+x2+x3=600 算出: x1=180, x2=300, x3=120,例4 按年齡分組的種群增長,動物因自然或人工繁殖而增加，因自然死亡和人為屠殺而減少; 不同年齡動物的繁殖率、死亡率有較大差別; 將種群按年齡等間隔地分成若干個年齡組，時間離散化為時段; 在穩(wěn)

11、定環(huán)境下假定各年齡組種群的繁殖率和死亡率與時段無關(guān); 建立按年齡分組的種群增長模型; 預(yù)測未來各年齡組的種群數(shù)量; 討論時間充分長以后的變化趨勢.,種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2,…n,時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,…,第i 年齡組1雌性個體在1時段內(nèi)的繁殖率為bi,第i 年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為di, 存活率為si=1- di,xi(k)~時段k第i 年齡組的種群數(shù)量,(設(shè)至少1個bi>

12、;0),例 按年齡分組的種群增長,模型及其求解,例 按年齡分組的種群增長,~按年齡組的分布向量,~Leslie矩陣(L矩陣),模型及其求解,,歸一化:,例 按年齡分組的種群增長,模型及其求解,設(shè)一種群分成 n=5個年齡組, 繁殖率 b1~b5= 0, 0.2, 1.8, 0.8, 0.2, 存活率s1~s4= 0.5, 0.8, 0.8, 0.1, 各年齡組現(xiàn)有數(shù)量均為100 ．,x1(k)~x5(k) 的圖形?。ㄗ陨隙?,的