第二章數(shù)值微分和數(shù)值積分

1、第二章 數(shù)值微分和數(shù)值積分,數(shù)值微分,函數(shù)f(x)以離散點(diǎn)列給出時(shí)，而要求我們給出導(dǎo)數(shù)值， 函數(shù)f(x)過于復(fù)雜,這兩種情況都要求我們用數(shù)值的方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值,微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：,自然，而又簡單的方法就是，取極限的近似值，即差商,向前差商,,,由Taylor展開,因此，有誤差,向后差商,,,由Taylor展開,因此，有誤差,中心差商,,,由Taylor展開,因此，有誤差,f(x)=exp(x),例：,,,由誤差表達(dá)式，

2、h越小，誤差越小，但同時(shí)舍入誤差增大，所以，有個(gè)最佳步長,我們可以用事后誤差估計(jì)的方法來確定,設(shè)D(h),D(h/2) 分別為步長為h,h/2 的差商公式。則,時(shí)的步長h/2 就是合適的步長,,插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性質(zhì)。因此，可以用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似為原函數(shù)的導(dǎo)數(shù),誤差,插值型數(shù)值微分,用Taylor展開分析,解：,例：,誤差？,數(shù)值積分,關(guān)于積分，有Newton-Leibniz 公式,但是，在很多情況下，還是要數(shù)

3、值積分：,1、函數(shù)有離散數(shù)據(jù)組成,2、F(x)求不出,3、F(x)非常復(fù)雜,定義數(shù)值積分如下：是離散點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合,稱為積分系數(shù)，與f(x)無關(guān)，與積分區(qū)間和積分點(diǎn)有關(guān),,例：,問題：如果判斷好壞？,代數(shù)精度,對(duì)任意次數(shù)不高于k次的多項(xiàng)式f(x)，數(shù)值積分沒有誤差,用插值函數(shù)的積分，作為數(shù)值積分,,代數(shù)精度,由Lagrange插值的誤差表達(dá)式，,，有,可以看出，至少n 階代數(shù)精度,,插值型,Vandermonde行列式,使用盡

4、可能高的代數(shù)精度,已知,求系數(shù),所以，如果m>n，則系數(shù)唯一,前面得到的系數(shù)是最好的嗎？,誤差,Newton-Cote’s 積分,若節(jié)點(diǎn)可以自由選取，則，一個(gè)自然的辦法就是取等距節(jié)點(diǎn)。對(duì)區(qū)間做等距分割。,該數(shù)值積分稱為Newton-Cote’s積分,設(shè)節(jié)點(diǎn)步長,,,,,(b-a),與步長h無關(guān)，可以預(yù)先求出,N＝1時(shí),,梯形公式,N＝2 時(shí),Simpson公式,1、梯形公式,此處用了積分中值定理,誤差,2、Simpson 公式,注

5、意到，Simpson 公式有3 階代數(shù)精度，因此為了對(duì)誤差有更精確地估計(jì)，我們用3 次多項(xiàng)式估計(jì)誤差,,為0,一般的有,因此，N-C積分，對(duì)偶數(shù)有n+1 階代數(shù)精度，而奇數(shù)為n 階代數(shù)精度,復(fù)化積分,數(shù)值積分公式與多項(xiàng)式插值有很大的關(guān)系。因此Runge現(xiàn)象的存在，使得我們不能用太多的積分點(diǎn)計(jì)算。采用與插值時(shí)候類似，我們采用分段、低階的方法,,誤差,,,做等距節(jié)點(diǎn)，,復(fù)化梯形公式,由均值定理知,可以看出，復(fù)化梯形公式是收斂的。,如果節(jié)點(diǎn)不

6、等距，還可以做復(fù)化積分嗎？怎么處理？,,誤差,,,做等距節(jié)點(diǎn)，,復(fù)化Simpson公式,由均值定理知,可以看出，復(fù)化Simpson公式是收斂的。,例：計(jì)算,解：,其中,= 3.138988494,其中,= 3.141592502,Lab03 復(fù)化積分,1.分別編寫用復(fù)化Simpson積分公式和復(fù)化梯形積 分公式計(jì)算積分的通用程序,2.用如上程序計(jì)算積分,取節(jié)點(diǎn){xi , i=0,…N}，N 為 {2k,k=0,1,…,12}

7、 ，并計(jì)算誤差，同時(shí)給出誤差階,3.簡單分析你得到的數(shù)據(jù),誤差階：,記步長為h時(shí)的誤差為e,步長為h/k時(shí)的誤差為ek,則，相應(yīng)的誤差階為：,Sample Output (? represents a space)復(fù)化梯形積分，誤差和誤差階為k=0?,?0.244934066848e00k=1?,?0.534607244904 , 1.90...復(fù)化Simpson積分，誤差和誤差階為k=1?,?0.24493406684

8、8e00k=2?,?0.534607244904e-01 , 4.01...,函數(shù)變化有急有緩，為了照顧變化劇烈部分的誤差，我們需要加密格點(diǎn)。對(duì)于變化緩慢的部分，加密格點(diǎn)會(huì)造成計(jì)算的浪費(fèi)。以此我們介紹一種算法，可以自動(dòng)在變化劇烈的地方加密格點(diǎn)計(jì)算，而變化緩慢的地方，則取稀疏的格點(diǎn)。,積分的自適應(yīng)計(jì)算,①先看看事后誤差估計(jì),以復(fù)化梯形公式為例,n等分區(qū)間,2n等分區(qū)間,近似有：,類似，復(fù)化Simpson公式,②自適應(yīng)計(jì)算,記,為復(fù)化一

9、次，2次的Simpson公式,控制,求,,,,,,,是,由前面的事后誤差估計(jì)式，,則，,這啟發(fā)我們，可以用低階的公式組合后成為一個(gè)高階的公式。,類似，,Romberg積分,記,為以步長為h的某數(shù)值積分公式，有,有如下的Euler-Maclaurin定理,若,為2m階公式，則,Romberg 積分就是不斷地用如上定理組合低階公 式為高階公式，進(jìn)而計(jì)算積分,? Romberg 算法

10、：,< ? ?,< ? ?,< ? ?,… … … … … …,重積分的計(jì)算,在微積分中，二重積分的計(jì)算是用化為累次積分的方法進(jìn)行的。計(jì)算二重?cái)?shù)值積分也同樣采用累次積分的計(jì)算過程。簡化起見，我們僅討論矩形區(qū)域上的二重積分。對(duì)非矩形區(qū)域的積分，大多可以變化為矩形區(qū)域上的累次積分。,a,b,c,d 為常數(shù)，f 在D 上連續(xù)。將它變?yōu)榛鄞畏e分,首先來看看復(fù)化梯形公式的二重推廣,做等距節(jié)點(diǎn)，x軸，y軸分別有：,先計(jì)算,，將x

11、作為常數(shù)，有,再將y作為常數(shù)，在x方向，計(jì)算上式的每一項(xiàng)的積分,二重積分的復(fù)化梯形公式,系數(shù)，在積分區(qū)域的四個(gè)角點(diǎn)為1/4，4個(gè)邊界為1/2，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)為1,誤差,類似前面有：,記,二重積分的復(fù)化Simpson公式,做等距節(jié)點(diǎn)，x軸，y軸分別有：,m，n為偶數(shù),誤差,Gauss型積分公式,Newton-Cote’s 積分公式，可以知道n為偶數(shù)時(shí)，n+1個(gè)點(diǎn)數(shù)值積分公式有n+1階精度。是否有更高的代數(shù)精度呢？n個(gè)點(diǎn)的數(shù)值積分公式，最高可以到

12、多少代數(shù)精度？本節(jié)會(huì)解決這個(gè)問題。,例：在兩點(diǎn)數(shù)值積分公式中，如果積分點(diǎn)也作為未知量，則有4個(gè)未知量，可以列出4個(gè)方程： （以f(x)在[-1,1]為例）,可解出：,數(shù)值積分公式,具有3階代數(shù)精度，比梯形公式1階代數(shù)精度高,證明：,取,易知：,也就是說，數(shù)值積分公式，對(duì)一個(gè)2n+2階的多項(xiàng)式是有誤差的，所以，n+1個(gè)點(diǎn)的數(shù)值積分公式不超過2n+1階,如何構(gòu)造最高階精度的公式？,一般性，考慮積分：,,稱為權(quán)函數(shù),定義兩個(gè)可積函數(shù)的內(nèi)

13、積為：,兩個(gè)函數(shù)正交，就是指這兩個(gè)函數(shù)的內(nèi)積為0,利用Schmidt 正交化過程，,變?yōu)檎换?就可以將多項(xiàng)式基函數(shù),以n階正交多項(xiàng)式的n個(gè)零點(diǎn)為積分點(diǎn)的數(shù)值積分公式有2n－1階的代數(shù)精度,證明：,若 f 為 2n－1 次多項(xiàng)式，則,為 n－1 次多項(xiàng)式,具有一個(gè)很好的性質(zhì)：,(2)求出pn(x)的n個(gè)零點(diǎn)x1 , x2 , … xn 即為Gauss點(diǎn).,(1)求出區(qū)間[a,b]上權(quán)函數(shù)為W(x)的正交多項(xiàng)式pn(x) .,(3)計(jì)算積

14、分系數(shù),Gauss型求積公式的構(gòu)造方法,解 按 Schemite 正交化過程作出正交多項(xiàng)式:,例：,故兩點(diǎn)Gauss公式為,積分系數(shù)為,P2(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為,區(qū)間[-1,1]上權(quán)函數(shù)W(x)=1的Gauss型求積公式,稱為Gauss-Legendre求積公式,其Gauss點(diǎn)為Legendre多項(xiàng)式的零點(diǎn).,(1) Gauss-Legendre求積公式,公式的Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到 .,幾種Gauss型求積公式,由,

15、因此,[a,b]上權(quán)函數(shù)W(x)=1的Gauss型求積公式為,區(qū)間[0,??)上權(quán)函數(shù)W(x)=e-x的Gauss型求積公式,稱為Gauss-Laguerre求積公式,其Gauss點(diǎn)為Laguerre多項(xiàng)式的零點(diǎn).,(2) Gauss-Laguerre求積公式,公式的Gauss點(diǎn)和求積系數(shù)可在數(shù)學(xué)用表中查到 .,由,所以,對(duì)[0, +?)上權(quán)函數(shù)W(x)=1的積分,也可以構(gòu)造類似的Gauss-Laguerre求積公式:,(3) Gaus