第二章導數與微分[0001]

1、,,§2.1 導數的概念§2.2 導數的基本公式與運算法則§2.3 高階導數§2.4 函數的微分,,,,,,,,,第二章 導數與微分,,,,,,§2.1 導數的概念,一、引出導數概念的實例二、導數的定義三、利用定義計算導數四、導數的幾何意義五、可導與連續(xù)的關系,,,,,,,,,,,,,§2.1 導數的概念,一、引出導數概念的實例,設一物

2、體作直線運動,其運動的路程 和時間 的關系為 ,現要求該物體在某一時刻 的瞬時速度,,為此,讓時間 發(fā)生一個微小的改變 ,則時間由 變化到了 ,該區(qū)間經過的時間是 ,雖物體在作變速運動,但由于 很小.因此在區(qū)間 上可近似的看作勻速運動,即速度看作是不變的(實際上有一些微小

3、的變化,但變化很小很小).其平均速度為:,1.變速直線運動的瞬時速度,,,顯然, 越小, 與 越接近.為此令 ,對上式取極限得,2.曲線上一點切線的斜率,設有一曲線 , 是其上一點,求過該點的切線斜率 .,設自變量由 點變化到了 ,則過,,,,,,,,,,,,,,,,,

4、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,演示,,,,,上面兩個例子的實際意義完全不同，但從抽象的數學關系來看，其實質是一樣的，都是函數的改變量與自變量改變量之比，當自變量趨于零時的極限，數學上把這種極限叫做函數的導數．,,即,二、導數的定義 1.函數在一點處的導數定義 定義2.1 設函數 在點 的某個鄰域內有定義，當自變量在點 處取得改變

5、量 時，函數 取得相應的改變量 ,如果 時,極限,,存在，則稱函數 在點 處可導，其極限值稱為函數 在點 處的導數，記作,即,如果令 則 在 點的導數又可以表示為,有了導數的概念后，前面兩個問題便可

6、敘述為:,如果上述極限不存在,則稱該函數在 點不可導.,,,,,由導數定義可得求函數在點處導數的步驟:（1）求函數的改變量 ；（2）計算比值（3）求極限,,（1）作變速直線運動的物體在時刻 的瞬時速度 , 就是路程函數 在 處的導數 ，即 （2

7、）曲線 在點 處的切線的斜率 就是函數 在點 處的導數 ，即,例1 求函數 在 點的導數,解,既然極限包括有左極限和右極限，而由定義知導數顯然也是一種極限,因此同樣的道理， 導數也可分為左、右導數．,,,,,,,,,,,2.函數在區(qū)間上的導數,,,,,定義 如果極限

8、 存在， 則稱此極限為函數 在 點處的左導數，記作 ；如果極限 存在，則稱此極限為函數 在點 處的右導數，記作 ． 函數 在 點處可導當且僅當函數 在 點處的左右導數存

9、在且相等,即,定義2.2 若函數 在區(qū)間 內每一點都可導，則稱函數 在區(qū)間 內可導．,,,顯然，函數 在點 處的導數 ,就是其導函數 在 點的函數值,即,三、利用定義計算導數 下面根據導數定義來求部分基本初等函數的導數．,1．常函數的導數,即,2.冪函數

10、的導數,,,,,即,,,注意: 對于一般的冪函數 ,類似有 (后面再證),3．正弦函數與余弦函數的導數,即,,,,,同理可得,4．對數函數的導數,即,特別地，當 時，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例1 求下列函數的導數,解,四、導數的幾何意義,函數 在點 處的導

11、數 就是曲線 在點 處的切線斜率 ，即 . 這就是導數的幾何意義．,因此，曲線 在點 處的切線方程為,,,,,,,,,,,,,,法線方程為,,,,,,,例３ 求曲線在點(1，1)處的切線方程和法線方程．,解,,,,,,因此切線方程為

12、 ，即,,,五、可導與連續(xù)的關系,,,定理2.1 如果函數 在 點處可導，則它在 處必連續(xù)．,,,所以有,即函數 在 點處連續(xù)．,,,,注意: 利用導數的幾何意義就可以從幾何圖形上判斷函數在某一點處的可導性問題.,,,,,,注意:這個定理的逆命題不一定成立．即連續(xù)是可導的必要條件，不是充分條件．,顯然兩者不相等, 所以

13、 不存在(見圖),,,,,,2．函數 在點 處是否連續(xù)？是否可導？,,,,,,,,一、導數的四則運算法則,注1: 該法則可以推廣到有限多個函數代數和的情形,本節(jié)我們將介紹導數的基本公式及運算法則，借助于這些公式和法則，就能比較方便地求出常見的初等函數的導數．,,§2.2 導數的基本公式與運算法則,注2: 該法則可以推廣到有限多個函數乘

14、積的情形,特別地，當 時，則有,例1 設 ， 求 ．,解,,,,,,例2 設 ，求,,解,,例3 設 ,求 ．,,,,,例4 設 ，求 ．,解,解,即,,,

15、,,,,,,,,,同樣方法可以求出,,,例4 設 ，求 ．,,,解,,例5 試求經過原點且與曲線 相切的直線方程．,,,,,,,,,．,,,,解 設所求直線方程為 ，直線與曲線的切點為 ，由導數的幾何意義知， 所以,又切點

16、是曲線和切線的公共點，從而,,,,,,,,,,,,,,,二、復合函數的導數,定理2.2 如果函數 在 點處可導，而函數 在對應的點 處可導，那么復合函數 也在點 處可導，且有,或,注1:這個公式可以推廣到兩個以上函數復合的情形．,,例６ 求函數 的導數．,,

17、,,解 設 ，則,,,,,,,,,,,,,,,,例7 求下列函數的導數,解,顯然是由 兩個函數復合的,因此,顯然是由 兩個函數復合的,因此,顯然是由 三個函數復合而成的,因此,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,注2:對

18、于復合函數的求導，在運用公式熟練之后，計算時就不必寫出中間變量了．,例8 求 的導數．,解,例9 求 的導數,解,例10 求 的導數,解,,,,,,,,,,,,,,三、隱函數的導數,,,,,,,,,,,,,,,,有些隱函數可化成顯函數，如由方程

19、 解出 , 則隱函數化成了顯函數，但有些隱函數不易化成顯函數,例如隱函數 .因此,尋找一種不用化為顯函數就可以直接由方程求出其導數的方法就成了我們所關心的主要問題.,下面介紹由方程 所確定的隱函數 的直接求導方法：,將方程 兩邊逐項對自變量 求導數,在求導過程中， 把

20、 看成 的函數，可得到包含 及 和 的一個方程 ，從中解出 ，即得到隱函數的導數,例11 求由方程 所確定的隱函數 的導數,解 方程 的兩邊同時對 求導數,解之得,,,,,,例13 求由方程 確定的隱函數的導數 ．,

21、解 方程兩邊對求導，得,解出,例12 求由方程 確定的隱函數的導數 ．,解 方程兩邊對 求導，得,解之得,,,,,,,,,方程兩邊先同時取自然對數，然后將取了對數的結果利用對數的性質進行充分化簡,最后將化簡后的結果看作隱函數,應用隱函數求導法求出其導數． 此方法一般適用于幾個因子通過乘、除、開方所構成的比較復雜的函數及冪指函數的情形的求導．,四、取對數求導法,

22、例12 求函數 的導數,解 顯然直接是不好求的, 我們將其兩邊取對數得,,化簡得,即有,注意:該題也可以用下列方法求得, 即將冪指函數分別看作冪函數和指數函數求出其導后相加機可.如該題,,例13 求冪函數 是任意實數) 的導數,,解 兩邊取自然對數并化簡，得,,,,,,,將其看作隱函數兩邊同時對 求導得,,,,,于是,即,例14

23、求函數 的導數．,解 兩邊取自然對數并化簡，得,兩邊對 求導，得,上式兩邊對 求導，得,,,,,,,,,,,,,,于是,,五、基本導數公式,歸納以上所的結論得如下基本公式,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2．導數的四則運算法則,,,,,習題2-2,2．求下列函數的導數：,,,,,,(1),(2),,,,,,(3),,3．求下列函數的導數：,1. 用

24、導數的定義求下列函數在給定點的導數,在 點處,在 點處,(1) (2),(3) (4),4．求下列復合函數的導數：,(7) (8),(3)

25、 (4),(5) (6),(1) (2),(1) (2),(1) (2),,,,,,,,,,,,,5．求下列方程確定的隱函數的導數

26、：,,,,求,6．求下列函數的導數：,,,7．求曲線 在點 處的切線方程和法線方程．,,,,,§2.3　高階導數,,相應地，把 的導數 叫做函數 的一階導數．,,,,,,,,,,,解,例2 求 的 階導數．,例1 求函數

27、 的二階及三階導數．,解 因為,所以,,,,,,,,例3 求函數 的 階導數．,,解 因為,,,,,所以,,,,,,,,,,,,§2.4　函數的微分,函數的導數表示函數關于自變量變化的快慢程度(變化率)．但在許多情況下，需要考察或者估算函數改變量的大小，特別是當自變量發(fā)生微小變化時函數改變量的大小．這就需要引進微分的概念．,一、微分的概念,,,面

28、積改變的近似值是多少?,可以把 分成兩部分 第一部分 是 的線性函數(圖中天藍部分)， 第二部分 (圖中純藍部分)，當 時，是比 較高階的無窮小量，因此當 很小時，我們用 近似地表示 ,即,,,,,,,,,,,,上述結論對于一般的函數是否成立呢?下面說明對

29、于可導函數都有此結論．,,設函數 在 點處可導，則有,根據函數極限與無窮小量的關系得,,,,于是,,,,當 時，函數的改變量 表示成兩部分之和，一部分關于 的線性函數 ，通常把它叫做 的線性主部；另一部分當 時，是比 較高階的無窮小量，所以當 很小時，有,,,,,,,,一般地

30、有,,注1: 規(guī)定自變量的微分就等于其改變量,即 .于是有 即函數,,,,,在點 處的微分等于該函數在該點的導數與自變量微分的乘積.,注2: 對 兩邊同時除以 后得到 ,它反映了函數的微分與其導數之間的關系,可見函數的導數即是函數的微分與自變量微分的商,因此常常把導數也稱為微商

31、.,,,,,,,,,例1 求下列函數的微分,解 (1) 因為,例2　已知 求 及 ．,解,二、 微分的幾何意義,所以,(2) 方程 兩邊同時對 求導,并把 看作 的函數,得,解之得,故,,,,,,,,,,,,,,,,,設函數 的圖象如下圖所示．在曲線上取定一點

32、 ，過該點作曲線的切線 它與 軸的交角為 ，則該切線的斜率為,,,,,,,,,,,,,,演 示,,,三、微分的基本公式與運算法則 根據定義，函數微分就是函數導數與自變量微分之積，所以由導數的基本公式和運算法則得到相應的微分基本公式和運算法則．,1．微分基本公式,,,（9）,微分的幾何意義：在曲線 上點 處

33、，當自變量 取得改變量 時，曲線在該點處切線縱坐標的改變量即是函數 在 點處微分的幾何意義.．,2．微分的運算法則,設 在 點均可微,則有,,,,,四、微分形式的不變性,,,,,,,由此可見，無論 是自變量還是其它變量 的函數，其微分的形式均保持不變．這一性質稱為微分形式的不變性．,例3 求,解,例4 求由方程所確定的

34、隱函數 的微分．,解 對方程兩邊求微分,,,,,,,,所以,例5　 在下列等式左端的括號中填入適當的函數，使等式成立,,,,解,,一般有,,,,,一般有,五、微分在近似計算上的應用,由微分的定義知，當 很小時，有近似公式,可以用該式直接計算函數增量的近似值,又因為,所以近似公式又可寫作,,,,,,,,,該式可以用來計算函數在 點附近的近似值．,取

35、 時上式又變?yōu)?,,,,,例6 求 的近似值,若分別令 則會得到以下近似計算公式(當 比較小時成立):,,,,,,,,,,,,,,,,例7 求 的近似值,解,例8 求

36、 的近似值,解 由于角度較大,所以不能使用公式,可令,代入公式,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,課后作業(yè),習題2-4 總復習題二,習題2－4,1．已知函數 ,當 ，求 ，．,2．求下列函數的微分：,3．求下列函數的近似值：,,,,,,,,,,,,,,,,時間,路程,已知路程

37、和時間之間的函數關系,物體作變速直線運動示意圖,,,,演示,,解,,因此切線方程為 ，即,,,法線方程為,,,即,五、可導與連續(xù)的關系,定理2.1 如果函數 在 點處可導，則它在 處必連續(xù)．,,,證明 因為函數 在 點處可導，則,,存在,所以有,,即函數

38、 在 點處連續(xù)．,注意:這個定理的逆命題不一定成立．即連續(xù)是可導的必要條件，不是充分條件．,如函數 連續(xù)，但不可導．因為,,右導數,,左導數,,顯然兩者不相等, 所以 不存在(見圖),,,,,,的圖象,,,,,,返回,,,,,,,,,,,,,,,,,,可導點為,導數為零的點是,導數幾何意義的應用,,,,,,,,演示,,,初等函數導數求法的