隨機變量的函數(shù)及其分布_第1頁
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1、第六章 隨機變量的函數(shù)及其分布,第一節(jié) 一維隨機變量的函數(shù)及其分布,第二節(jié) 二維隨機變量的函數(shù)的分布,§6.1 一維隨機變量的函數(shù)及其分布,一、隨機變量的函數(shù)的分布,在許多實際問題中,常常需要研究隨機變量的函數(shù)的分布問題, 例:,☆測量圓軸截面的直徑d,而關(guān)心的卻是截面積:,d為隨機變量,☆統(tǒng)計物理中, 已知分子的運動速度x的分布, 求動能:,1. 背景,S是隨機變量的函數(shù),,,x為隨機變量,y是隨機變量的函數(shù),,

2、,一般地, 若隨機變量X的取值在一元實函數(shù)y = g(x)的 定義域內(nèi),則Y = g(X)成為隨機變量X的函數(shù), 且它也是一隨機變量。,隨機變量及其函數(shù)間的關(guān)系,隨機變量X,分布函數(shù)F(x),密度函數(shù)f(x),隨機變量的函數(shù)Y = g(X),FY(x),fY(x),,,,,,還是隨機變量,,若X為離散型隨機變量, 其分布律為,則隨機變量X的函數(shù)Y = g(X)的分布律為,注意:如果g(xi )與g(xj )的值

3、相同,此時應(yīng) 將這兩項合并,且對應(yīng)的概率相加.,二、離散型隨機變量的函數(shù)的分布,,,概率,例:設(shè)隨機變量X的分布律為,求Y = 2X2+1的分布律.,解:,將表格延伸:,故 Y = 2X2+1的分布律為:,,,概率,,,概率,解:,由題設(shè)可得如下表格,例:設(shè)圓半徑R的分布律為,求周長及面積的分布律.,,,周長,,,面積,概率,設(shè)X為連續(xù)型隨機變量,其概率密度函數(shù)為f (x). y = g(x)是一個連續(xù)函數(shù),則

4、:,(1) 求隨機變量Y = g(X)的分布函數(shù) FY (y)為:,(2) 隨機變量Y = g(X)的概率密度函數(shù) fY (y)為:,三、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布,例:設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為,求隨機變量Y = 2X+8的概率密度.,(1) 先求Y = 2X+8的分布函數(shù)FY (y),解:,(2) 求Y = 2X+8的概率密度,,,即 Y服從[19,21]上的均勻分布.,Y = 0.1X+10的密度函數(shù)為:,X的密度函數(shù)為,例:

5、設(shè)隨機變量服從[90,110]上的均勻分布, 求Y = 0.1X+10的密度函數(shù).,解:,解:,先求分布函數(shù) FY (y),例:設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布 , 求Y = aX+b的概率密度.,當(dāng) 時,,所以,,當(dāng) 時,,所以,,推論,定理1,正態(tài)分布的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布,正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化方法,若隨機變量X及其函數(shù)Y = g(X)的密度函數(shù)分

6、別為fX (x), fY (y), 且g(x)是嚴格單調(diào)函數(shù),則:,定理2,其中x = G(y)為y = g(x)的反函數(shù).,下課了!今天就到這里吧!,一、二維隨機變量的函數(shù)的分布,(1) (X, Y)是二維隨機變量,Z的分布函數(shù)為:,問:如何確定隨機變量Z的分布呢?,§6.2 二維隨機變量的函數(shù)及其分布,假設(shè):,(2) (X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x, y),(3) Z = g(X, Y)是隨機變量X, Y的二元

7、函數(shù),二、二維離散型隨機變量的函數(shù)的分布,設(shè)(X, Y)是二維離散型隨機變量,其聯(lián)合分布律為,g(x, y)是一個二元函數(shù),Z = g(X, Y)是二維隨機變量(X, Y)的函數(shù),則隨機變量Z的分布律為:,例:設(shè)(X, Y)的聯(lián)合分布律為:,請求出:(1) X+Y的分布律; (2) X-Y的分布律; (3) X2+Y-2的分布律.,解:,由(X, Y)的聯(lián)合分布律可得

8、如下表格,概率,解得所求的各分布律為:,三、二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布,Z的分布密度函數(shù)為:,(1) (X, Y)是二維隨機變量,Z的分布函數(shù)為:,假設(shè):,(2) (X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x, y),(3) Z = g(X, Y)是隨機變量X, Y的二元函數(shù),例:設(shè)二維隨機變量(X, Y)的概率密度為,求隨機變量 Z = X+2Y 的分布密度函數(shù),解:,當(dāng) 時,,當(dāng) 時,,分布函數(shù)為,分布密度函數(shù)為,

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