1.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第三講隨機(jī)變量的函數(shù)與特征函數(shù),3.1 隨機(jī)變量的函數(shù)變換,這個(gè)函數(shù)關(guān)系的含義為：在隨機(jī)試驗(yàn)E中，設(shè)樣本空間為S={ei}，對(duì)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果ei，對(duì)應(yīng)于X的某個(gè)取值X(ei)，相應(yīng)地指定一個(gè)Y(ei)，且Y(ei)與X(ei)有如下關(guān)系： 顯然，Y的概率特性與X是有關(guān)系的。,3.1.1 一維變換,若隨機(jī)變量X、Y滿足下列函數(shù)關(guān)系 如果X與Y之間的關(guān)系是單調(diào)的，并且存在反函數(shù)，即 若反函數(shù)h(Y)的導(dǎo)數(shù)也存

2、在，則可利用X的概率密度求出Y的概率密度。,綜合上述討論，得到,如果X和Y之間不是單調(diào)關(guān)系，即Y的取值y可能對(duì)應(yīng)X的兩個(gè)或更多的值x1,x2,…, xn。,假定一個(gè)y值有兩個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，則有,一般地，如果y=g(x)有n個(gè)反函數(shù)h1(y), h2(y),…, hn(y)，則,3.1.2 二維變換,設(shè)二維隨機(jī)變量(X1,X2)的聯(lián)合概率密度f(x1, x2)，另有二維隨機(jī)變量(Y1,Y2)，且 求隨機(jī)變量(Y1,Y2)的聯(lián)

3、合概率密度f(y1, y2)。,如果隨機(jī)變量Y是二維隨機(jī)變量(X1,X2)的函數(shù)，即 可求Y的數(shù)學(xué)期望和方差。,3.2 隨機(jī)變量的特征函數(shù),3.2.1 特征函數(shù)的定義 隨機(jī)變量X的特征函數(shù)就是由X組成的一個(gè)新的隨機(jī)變量ejwX的數(shù)學(xué)期望，即,離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)分別表示為,隨機(jī)變量X的第二特征函數(shù)定義為特征函數(shù)的對(duì)數(shù)，即,對(duì)二維隨機(jī)變量

4、，可用類似的方法定義特征函數(shù),第二特征函數(shù)定義為,3.2.2 特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：,性質(zhì)2：若Y=aX+b，a和b為常數(shù)，Y的特征函數(shù)為,性質(zhì)3：互相獨(dú)立隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各隨機(jī)變量特征函數(shù)之積，即若 則,3.2.3 特征函數(shù)與矩函數(shù)的關(guān)系矩函數(shù)與特征函數(shù)之間存在如下關(guān)系：,3.2.4 特征函數(shù)與概率密度的關(guān)系,3.3 常見分布,3.3.1 常見的離散型分布一. 兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量X的分布為

5、 則稱X服從兩點(diǎn)分布，也稱為貝努里分布。當(dāng)a、b分別為0、1時(shí)，稱這種分布為0－1分布。,二. 二項(xiàng)分布設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果且將E獨(dú)立地重復(fù)n次，那么在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生m次的概率為稱為二項(xiàng)分布。,三.泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,…,且分布密度為則稱X服從泊松分布。,3.3.2 常見的連續(xù)分布一. 均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X在有限區(qū)間[a,b]內(nèi)取值，且其概率密

6、度為則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布。,隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,1)一維高斯分布 高斯變量X的概率密度為：,二. 高斯分布,概率分布函數(shù),對(duì)高斯變量進(jìn)行歸一化處理后的隨機(jī)變量，稱為歸一化高斯變量。即令 ，歸一化后的概率密 度為,服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的高斯變量X，其特征函數(shù)為,服從 的高斯變量Y，其特征函數(shù)為,（1）已

7、知X為高斯變量，則Y=aX+b（a,b為常數(shù)）也為高斯變量，且,特點(diǎn)：,（2）高斯變量之和仍為高斯變量。,例：求兩個(gè)數(shù)學(xué)期望和方差不同且互相獨(dú)立的高斯變量X1,X2之和的概率密度。,推廣到多個(gè)互相獨(dú)立的高斯變量，其和也是高斯分布。即 若Xi服從 ，則其和的數(shù)學(xué)期望和方差分別為,若有大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和 其中每個(gè)隨機(jī)變量Xi對(duì)總的變量Y的影響足

8、夠小時(shí)，則在一定條件下，當(dāng) 時(shí)，隨機(jī)變量Y是服從正態(tài)分布的，而與每個(gè)隨機(jī)變量的分布律無關(guān)。,（3）中心極限定理,結(jié)論：任何物理過程，如果它為許多獨(dú)立作用之和，那么這個(gè)過程就趨于高斯分布。,2）二維高斯分布 設(shè)X是均值為 ，方差為 的正態(tài)隨機(jī)變量，Y是均值為 ，方差為 的正態(tài)隨機(jī)變量，且X,Y的相關(guān)系數(shù)為

9、 ，則二維隨機(jī)變量(X,Y)為一個(gè)二維正態(tài)隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為,設(shè)n維隨機(jī)變量向量為Y，數(shù)學(xué)期望和方差向量為m和s，它們具有如下形式： Y= m= s=,協(xié)方差矩陣C C =,則n維聯(lián)合概率密度函數(shù)為,三. 分布,1) 中心 分布 若n個(gè)互相獨(dú)立的高斯變量X1, X2,…, Xn的數(shù)學(xué)期望都為零，方差為1

10、，它們的平方和 的分布是具有n個(gè)自由度的 分布。,其概率密度為,當(dāng)互相獨(dú)立的高斯變量Xi的方差不是1，而是 時(shí)，Y的概率密度為,性質(zhì)：兩個(gè)互相獨(dú)立的具有 分布的隨機(jī)變量之和仍為 分布，若它們的自由度分別為n1和n2，其和的自由度為n= n1+n2。,2) 非中心 分布 若互相獨(dú)立的高斯變量Xi(I=1,2,…,n)的方差為 ，數(shù)學(xué)期望為 ，

11、則 為n個(gè)自由度的非中心 分布。,其概率密度為 稱為非中心分布參量,性質(zhì)：兩個(gè)相互獨(dú)立的非中心 分布的隨機(jī)變量之和仍為非中心 分布，若它們的自由度為n1和n2，非中心分布參量分別為 和 ，其和的自由度為n= n1+n2，非中心分布參量為,四. 瑞利分布和萊斯分布,1) 瑞利分布 對(duì)于兩個(gè)自由度的 分布

12、，即Xi(I=1,2)是數(shù)學(xué)期望為零，方差為且相互獨(dú)立的高斯變量，則為瑞利分布。,R的概率密度為,對(duì)n個(gè)自由度的 分布，若令 則R為廣義瑞利分布,2) 萊斯分布 當(dāng)高斯變量Xi(I=1,2,…,n)的數(shù)學(xué)期望為 不為零時(shí)， 是非中心 分布，而 則是萊斯分布。,對(duì)于任意n值有,3.4.1 隨機(jī)序列收斂 設(shè)有隨機(jī)變量X及隨機(jī)變量序列{X