古典分紅模型與最優(yōu)再保險(xiǎn)策略.pdf

1、做為精算數(shù)學(xué)的一部分，自從Lundberg理論的創(chuàng)立到現(xiàn)今，集體風(fēng)險(xiǎn)理論已經(jīng)成為研究領(lǐng)域中最為活躍的部分.在集體風(fēng)險(xiǎn)理論中，古典風(fēng)險(xiǎn)模型是用一個(gè)具有空間齊次性和獨(dú)立增量性的復(fù)合泊松過(guò)程來(lái)描述的.正是因?yàn)楣诺滹L(fēng)險(xiǎn)模型具有這么完美的性質(zhì)，在此模型下幾乎所有的精算變量的精確結(jié)果都已經(jīng)得到明確的解析形式.其中這些精算變量包括破產(chǎn)時(shí)間、破產(chǎn)前余額、破產(chǎn)后赤字等等.針對(duì)這些精算變量，破產(chǎn)概率和Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)這兩個(gè)問(wèn)題受到了學(xué)者廣

2、泛的研究. 另外，在最近的一些文獻(xiàn)中，基于集體風(fēng)險(xiǎn)理論上的最優(yōu)分紅問(wèn)題引起了學(xué)者的很大興趣.BrunoDeFinetti于1957年在紐約召開(kāi)的國(guó)際精算會(huì)議上報(bào)告了一篇論文，文章中首次提出了保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅策略，并用它來(lái)更為現(xiàn)實(shí)的反映一個(gè)保險(xiǎn)組合中的剩余現(xiàn)金流.DeFinetti在文章中批判說(shuō)在實(shí)務(wù)中公司的破產(chǎn)概率是很小的，只用破產(chǎn)概率做為評(píng)估準(zhǔn)則是極端保守的.我們可以通過(guò)在將來(lái)的某個(gè)時(shí)刻減少公司的剩余來(lái)避免這個(gè)困境，也就是說(shuō)

3、保險(xiǎn)人可以通過(guò)向股東派發(fā)紅利來(lái)減少自己的資產(chǎn)剩余.在這個(gè)思想的基礎(chǔ)上，我們要考慮的問(wèn)題就是：在可能的破產(chǎn)前所有分紅的期望折現(xiàn)是多少?什么樣的分紅策略可以使得期望折現(xiàn)分紅達(dá)到最大?到目前為止，許多的文獻(xiàn)都致力于描述和討論由DeFinetti提出的分紅策略問(wèn)題.在本篇論文中，我們考慮一種常見(jiàn)但是非常有用的分紅策略：門(mén)檻分紅策略. 在這些背景基礎(chǔ)之上，我的博士畢業(yè)論文主要致力于在具有一類門(mén)檻分紅策略的古典風(fēng)險(xiǎn)模型上進(jìn)行破產(chǎn)理論和最優(yōu)控

4、制理論的研究.本篇論文的結(jié)構(gòu)是按如下章節(jié)安排的.在第二章中，通過(guò)研究具有一個(gè)常數(shù)邊界分紅策略(是門(mén)檻分紅策略的—個(gè)特殊情況)的古典風(fēng)險(xiǎn)模型，我們首次從分紅的角度出發(fā)討論了隱藏在分紅問(wèn)題背后的一些經(jīng)典結(jié)果.在第三章中，我們對(duì)具有一般門(mén)檻分紅策略的古典風(fēng)險(xiǎn)模型研究了破產(chǎn)概率，Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)，分紅問(wèn)題以及占位時(shí)等內(nèi)容.在第四章中，我們考慮具有常數(shù)分紅邊界策略的古典風(fēng)險(xiǎn)模型，同時(shí)對(duì)于負(fù)剩余時(shí)加上利率的情形，也就是允許公司可以

5、進(jìn)行融資來(lái)彌補(bǔ)赤字.絕對(duì)破產(chǎn)概率，分紅問(wèn)題以及Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)等內(nèi)容都依次給予了討論.在最后一章我們研究了保險(xiǎn)人為了最小化公司的破產(chǎn)概率所應(yīng)該采取的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略，這里公司的風(fēng)險(xiǎn)剩余過(guò)程我們用一個(gè)具有正漂移的維納過(guò)程(布朗運(yùn)動(dòng))來(lái)描述. 該論文首先對(duì)古典風(fēng)險(xiǎn)模型、模型中一些基本的定義以及本篇論文的主要內(nèi)容在第一章中做了簡(jiǎn)要的回顧和敘述.然后就是本篇論文的主體內(nèi)容部分. 第一，我們從研究具有一個(gè)常數(shù)邊界分

6、紅策略的古典風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅問(wèn)題入手，這里常數(shù)邊界分紅策略是門(mén)檻策略的特殊情況.在此模型下的分紅問(wèn)題是在Finetti(1957)文章中首次提出，隨后被KarlBorch等其他的學(xué)者進(jìn)行了深入廣泛的研究.同時(shí)我們也可以在Bühlmann(1970，6.4節(jié))，Gerber(1979，10.1節(jié))和Seal(1969，P163-166)等專著和他們的一些參考文獻(xiàn)中找到對(duì)這個(gè)問(wèn)題的討論.BühImann(1970)研究了破產(chǎn)前期望折現(xiàn)分紅并在

7、一般索賠分布下給出了它的一個(gè)解析表達(dá)式，另外也討論了最優(yōu)分紅邊界.在Gerber和Shiu(1998)文章的最后一部分中，作者通過(guò)分析古典風(fēng)險(xiǎn)模型中的一個(gè)關(guān)于首達(dá)時(shí)和破產(chǎn)時(shí)得到的結(jié)果，對(duì)破產(chǎn)前期望折現(xiàn)分紅給出了一個(gè)新的表達(dá)式.受Gerber和Shiu(1998)的啟發(fā)，我們這里從相反的思路來(lái)考慮分紅問(wèn)題.首先我們?cè)诠酒飘a(chǎn)后風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程是否繼續(xù)運(yùn)行兩種情形下分別給出了各自期望折現(xiàn)分紅的表達(dá)式.然后基于這兩個(gè)表達(dá)式，我們給出了隱藏在分紅問(wèn)題背

8、后的一些經(jīng)典結(jié)果. 第二，我們來(lái)考慮有一般門(mén)檻分紅策略的復(fù)合風(fēng)險(xiǎn)模型.具有兩階段保費(fèi)率的古典風(fēng)險(xiǎn)模型最早是在Asmussen(2000)第七章1a中給予了介紹.我們可以把這個(gè)模型解釋為保險(xiǎn)人對(duì)與復(fù)合泊松模型應(yīng)用一個(gè)門(mén)檻分紅策略，因此有兩階段保費(fèi)率的古典風(fēng)險(xiǎn)模型也被稱為具有一個(gè)門(mén)檻分紅策略的古典風(fēng)險(xiǎn)模型.在第三章中，我們集中討論了此模型并得到了下面一些結(jié)果.具有門(mén)檻分紅策略的古典風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率問(wèn)題首先是在Asmussen(20

9、00)給予了討論.對(duì)比Asmussen(2000)中得到的結(jié)果，利用風(fēng)險(xiǎn)剩余過(guò)程的強(qiáng)馬爾可夫性和古典風(fēng)險(xiǎn)模型下破產(chǎn)時(shí)赤字的分布我們首先得到了一個(gè)更為直接的生存概率的表達(dá)式，另外，做為L(zhǎng)in等(2003)這篇文章結(jié)果的擴(kuò)展，我們通過(guò)結(jié)合Gerber和Shiu(1998)以及Lin等(2003)兩篇文章中的方法，給出了在具有門(mén)檻分紅策略的古典風(fēng)險(xiǎn)模型下的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)的明確表達(dá)式.與此同時(shí)，此模型下的分紅問(wèn)題也是我們主要

10、興趣所在.我們推倒出了破產(chǎn)前期望折現(xiàn)分紅的結(jié)果，并通過(guò)分析破產(chǎn)前期望折現(xiàn)分紅的表達(dá)式，給出了最優(yōu)分紅邊界.考慮到在實(shí)際中保險(xiǎn)人和股東都很關(guān)心無(wú)分紅的期望時(shí)間，我們最后還考慮了此模型下的占位時(shí)問(wèn)題. 另外，古典風(fēng)險(xiǎn)模型的另外一個(gè)拓展是允許保險(xiǎn)人在風(fēng)險(xiǎn)剩余為負(fù)時(shí)可以向銀行等機(jī)構(gòu)融資從而保證其商業(yè)活動(dòng)繼續(xù)正常運(yùn)行，這就是我們說(shuō)的負(fù)剩余時(shí)帶利率的古典風(fēng)險(xiǎn)模型.這個(gè)模型是在Dassios和Embrechts(1989)中首次提出的，在Zh

11、ang和Wu(1999)中首次被稱為”D-E模型”.在此模型中，當(dāng)公司的風(fēng)險(xiǎn)剩余跌倒一個(gè)負(fù)邊界以下，而不是跌倒0以下，公司才宣布“破產(chǎn)”.“破產(chǎn)”后，這時(shí)即使公司通過(guò)向銀行貸款，風(fēng)險(xiǎn)剩余也沒(méi)有可能再恢復(fù)為正，所以我們稱此時(shí)的“破產(chǎn)”為絕對(duì)破產(chǎn).在第四章中，我們首先研究了此模型下的絕對(duì)破產(chǎn)概率.此外和前面處理一樣，對(duì)于此模型再加上一個(gè)常數(shù)邊界分紅策略，我們隨后又討論了Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)，期望折現(xiàn)分紅和最優(yōu)分紅邊界.

12、 在論文的最后，我們考慮最優(yōu)控制問(wèn)題，最近，對(duì)于一個(gè)金融公司的最優(yōu)動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)控制和紅利分配控制問(wèn)題在數(shù)理金融中引起了廣泛的關(guān)注.一個(gè)保險(xiǎn)公司可以通過(guò)諸如再保險(xiǎn)，投資，分派紅利等商業(yè)手段來(lái)控制自己的風(fēng)險(xiǎn)，在這部分內(nèi)容中，我們考慮公司如何通過(guò)選擇合適的再保險(xiǎn)策略來(lái)最小化公司的破產(chǎn)概率. 其中，我們用具有一個(gè)常正漂移系數(shù)和常擴(kuò)散系數(shù)的布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述公司將來(lái)的流動(dòng)資產(chǎn).考慮成數(shù)再保險(xiǎn)和超額損失再保險(xiǎn)的組合策略，我們證明了最優(yōu)的再保險(xiǎn)策略為