常數(shù)紅利下帶稅收的最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略

1、ValueEngineering191常數(shù)紅利下帶稅收的最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略O(shè)ptimalInvestmentandReinsuranceStrategywithTaxesundertheConstantDividendPolicy聶高琴NIEGao—qin(首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京100070)(SchoolofStatistics，CapitalUniversityofEconomicsandBusiness，Beijing1

2、00070，China)摘要：在常數(shù)邊界分紅策略及存在稅收的情形下，對(duì)于擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，保險(xiǎn)公司將盈余投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，且通過(guò)比例再保險(xiǎn)來(lái)分散風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)求解HJB方程，得到了最大期望折現(xiàn)紅利，最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略的顯示表達(dá)式。Abstract：Inthesituationofthepresenceoftaxandtheconstantdividendbarrier，forthediffusionriskmodel，insur

3、ancecompanyinvestsurplusinrisk—freeassetandariskyassetandspreadtheriskthroughtheproportionalreinsuranceweobtaintheclosed—formexpressionsofthemaximalexpecteddiscounteddividend，theoptimalinvestmentandreinsurancestrategybys

4、olvingtheHJBequation關(guān)鍵詞：邊界分紅；稅收；Hamilton—Jacobi—Bellman(HJB)方程Keywords：barrierdividend；tax；Hamilton—Jacobi—Bellman(HJB)equation中圖分類號(hào)：F83文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1006—4311(2015)O1—0191020引言自DeFinettibt1提出帶有分紅的二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型后，關(guān)于分紅的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型，有大量文獻(xiàn)

5、對(duì)其進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)[2—5]等。最近，林祥與楊鵬[61在擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型下研究了再保險(xiǎn)及投資對(duì)紅利的影Ⅱ向，在最大化期望貼現(xiàn)紅利的目標(biāo)下，得到了最優(yōu)策略及值函數(shù)的顯示表達(dá)式。但在其投資中，只有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，沒有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。而在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，保險(xiǎn)公司有一部分盈余會(huì)投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，針對(duì)擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，保險(xiǎn)公司將盈余投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，且購(gòu)買比例再保險(xiǎn)，另外，考慮到稅收的影響，我們將在存在稅收的情形下，研究常數(shù)

6、邊界分紅策略，為使期望貼現(xiàn)紅利最大化，其最優(yōu)的投資與再保險(xiǎn)策略。1模型下文用(T表示向量的轉(zhuǎn)置，用表E()示隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。假設(shè)(t，tT是定義在完備概率空間(n，F(xiàn)，P，F(xiàn)l。)上獨(dú)立的二維標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng)，其中Fl。是由(”t，：t)所產(chǎn)生的信息流。允許連續(xù)交易，不考慮交易費(fèi)用，所有資產(chǎn)都是無(wú)窮可分的。設(shè)保險(xiǎn)公司的盈余為X(t)=xctBW”(t)，t0(1)其中，X0是保險(xiǎn)公司的初始盈余，c0是單位時(shí)間的保費(fèi)率，B”(

7、t)表示隨機(jī)因素的干擾。保險(xiǎn)公司購(gòu)買比例再保險(xiǎn)，其自留額為p0，若pl則表示保險(xiǎn)公司承接了其他公司的再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，此時(shí)，保險(xiǎn)公司的盈余為：X(t，P)=xp(t)ctp(t)B”(t)，t0(2)假設(shè)保險(xiǎn)公司投資的金融市場(chǎng)有一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格B(t)滿足如下常微分方程dB(t)=rob(t)dt其中r0O為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格S(t)滿足如下隨機(jī)微分方程：dS(t)=S(t)(~dtcrd

8、W’(t))，t0基金項(xiàng)目：首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)校級(jí)科研項(xiàng)目(2013XJQ015o作者簡(jiǎn)介：聶高琴(1979一)，女，安徽安慶人，副教授，研究方向?yàn)楸ｋU(xiǎn)數(shù)學(xué)與風(fēng)險(xiǎn)理論。tx0表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率，盯O表示波動(dòng)率。用Z(t)表示t時(shí)刻保險(xiǎn)公司投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的盈余額，則投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的盈余額為X(t，P)l(to另外，考慮到保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中稅收的存在，設(shè)稅收率為aOo在任意時(shí)刻，保險(xiǎn)公司選擇比例再保險(xiǎn)策略P(t)與投資策略z(t)，記()=(

9、p()，f())，當(dāng)()確定時(shí)，則保險(xiǎn)公司的盈余為x(t，叮T)：f(t)[x(t，叮T)一f(t)]r0dt一x(t，1r)dtltJdX(tgP)=it(t)(一r0)X(t，叮T)(roC~)p(t)c]dtp(t)pdW’(t)trl(t)dW(t)(3)且X(0，)=x。若P(t)與Z(t)是關(guān)于可料的，且滿足fr∞11)P(t)0；2)PI／2(t)dt0，即當(dāng)盈余低于b時(shí)無(wú)紅利支付，一旦盈余高于b時(shí)，高出的部分全部作為紅利

10、支付。對(duì)t0，記D(t)為到時(shí)刻t為止支付的總紅利，則支付紅利后，t時(shí)刻保險(xiǎn)公司的盈余為Xb(t，)=X(t，叮T)一D(t)(4)定義破產(chǎn)時(shí)刻為inft：X(t，1『)0表示紅利貼現(xiàn)率。對(duì)xO，用V(x，b)表示Dxb的數(shù)學(xué)期望，即(x，b)=E[DjbIX(0，)=x]，以下將尋找最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)策略，使(x，b)最大，即找到最優(yōu)的值函數(shù)V(x，b)=supV(x，b)及最優(yōu)策略E兒1T，使得V(x，b)=V(x，b)2主要結(jié)果由F

11、leming和SoneBn或Sehmidlit8~，易得以下定理192價(jià)值工程定理1：設(shè)V(X，b)是定義在x，xOl上的二次連續(xù)可微函數(shù)，則V(X，b)滿足以下HJB方程sutp(x，b)f(一r0)x(r『0【)pc】vx(x，b)SV(x，b)I01TEllLJOb(6)及邊界條件V(0，b)=0(7)I：l(8)dxIV(x，b)，V(x，b)分別表示V(x，b)關(guān)于x的一階與二階導(dǎo)數(shù)。采用文獻(xiàn)[7]或[8】的標(biāo)準(zhǔn)方法，可得如下

12、的檢驗(yàn)定理定理2：設(shè)W(X，b)是定義在Ix，x01上的二次連續(xù)可微的凹函數(shù)，滿足HJB方程(5)和(6)以及邊界條件(7)和(8)，則值函數(shù)V(x，b)與W(x，b)是一致的，即V(x，b)=W(X，b)，且若滿足一(p2po2p)w(x，b)[f(p~ro)x(rooC)pc]W(x，b)一8W(xb)=O，0sxb，W(x，b)=x—bW(b，b)，xb，則’是最優(yōu)策略，即W(X，b)=V(x，b)V(x，bo由HJB方程(5)關(guān)

13、于Z求導(dǎo)得：(rlV(x，b)(r0)V(x，b)=o，則z一二蘭!(9)V(x，b)將(9)式代入(5)式，得到supIBp2V(x，b)pcV(x，b)P≥FOL二x()vb)制(x!b)：02、，(x，b)(10)由(10)式的一階條件知：p2pV(x，b)=cV(x，b)于是，p一!蘭!(11)p2v(x，b)當(dāng)p0時(shí)，將(11)式代入(10)式，有爭(zhēng)[等]x(roc~)V5V(x，b)=0以下記△=[2(儀)28]。一l66(

14、r僅)，假設(shè)△≥0，結(jié)合邊界條件(7)與(8)，得到V(x，b)=b，K其中。k：!!!：蘭蘭：!!：莖蘭：妾L二!蘭)4【0【】(12)當(dāng)pO時(shí)，p一’r黼，v(，b)：，。b其中，k由(12)式給出：當(dāng)pb其中，m由(13)式給出。由定理3知，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r0及稅收率a對(duì)最優(yōu)策略P，f及最優(yōu)期望折現(xiàn)紅利V(x，b)均有影響。參考文獻(xiàn)：【1]DeFinettibSuunimpostazionealternativedellteoriac

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